U2.1 速度場怎麼推動一整個分布？

本篇重用M2.0河面上的箭頭：Vector Field 與 ODE·M2.1從一片葉子到一群葉子：Flow Map 與 Pushforward·M2.2站內人數變化 = 進 − 出：Continuity Equation·M0.1閘門的進出：Divergence 與通量

先把三個容易混在一起的東西分開

上一篇把問法換成了：先決定中間分布，再找推動它的速度場。 要把這句話寫成數學，得先分清三個常常被混著用的物件。

可以想成開車。速度場是每個路口的指示牌——站在這裡、這個時刻，該往哪走、走多快；軌跡是某一台車照著指示牌走出來的那條路線；flow map 則是一張「所有車的位置對照表」：給定出發點，告訴你它在時刻 $t$ 會在哪裡。

速度場 $u_t(x):[0,1]\times\mathbb R^d\to\mathbb R^d$。這是網路要學的東西。

三個物件裡只有速度場是被參數化的；軌跡與 flow map 都是它的後果。

ODE 與軌跡。 給一個起點 $x_0$，解

$$\frac{d}{dt}x_t=u_t(x_t),\qquad x_{t=0}=x_0 ,$$

就得到一條軌跡 $t\mapsto x_t$。在 Lipschitz 條件下解存在且唯一，所以軌跡不會交叉：兩條軌跡一旦在某個時刻碰到同一點，之後就是同一條。這件事在 U2.3 會變得很關鍵。

Flow map $\psi_t(x_0):=x_t$，把每個起點送到它在時刻 $t$ 的位置。對每個固定的 $t$，$\psi_t$ 都是可逆的（把 ODE 反著解就是反函數）。

於是生成器就是 $\psi_1$：抽 $x_0\sim p_0$、解 ODE 到 $t=1$、輸出 $x_1$。這正好回答了 U1.0 的問題——我們要的那個 $G$ 就是 $\psi_1$，只是它被一個速度場隱式地定義，而不是某個直接吐出 $x_1$ 的網路。

答案是：我們寫不出 $\psi_1$ 的訓練目標。 回想 U1.0：要直接回歸一個「噪聲 → 資料」的函數，就得知道哪個 $x_0$ 該對到哪個 $x_1$；沒有配對，$L_2$ 的最佳解會塌成一張平均圖。$\psi_1$ 正是那個我們沒辦法直接監督的物件。

速度場不一樣。一旦路徑被指定下來，中間每一個點「該往哪走」就是已知的——那是一個現成的回歸目標。我們付出的代價是取樣時要解 ODE（很多小步），換到的是一個真的訓得動的 loss。

這個取捨也不是永久的。U6 與 U7 會回頭直接學 $\psi$ 本身——但那時候我們手上已經有一個訓好的速度場可以當老師了。先有速度場，才有辦法學 flow map。

從推動一顆點，到推動一整個分布

一群粒子都在動，它們的分布 $p_t$ 當然也在變。$p_t$ 就是 $p_0$ 被 $\psi_t$ 推過去的結果，寫成 $p_t=[\psi_t]_\#p_0$——正是 U1.0 那個 pushforward，只是現在它隨 $t$ 連續變化。

那 $p_t$ 隨時間怎麼變？想像空間裡一小塊區域：裡面的密度會變多還是變少，取決於流進來的粒子減掉流出去的。寫下來就是

$$\boxed{\;\partial_t p_t(x)+\nabla\cdot\big(p_t(x)\,u_t(x)\big)=0\;}$$

這就是 continuity equation（質量守恆）。$p_t u_t$ 是「流量」——多少東西正經過這裡、往哪個方向；它的散度就是淨流出。

動手自己導一次：一維的小盒子，兩行就出來了

先在一維做，因為高維只是把「兩端」換成「表面」。

取一段 $[x,\ x+\Delta x]$。裡面的質量是 $\int_x^{x+\Delta x}p_t(y)\,\mathrm dy\approx p_t(x)\,\Delta x$。

質量只能從兩端進出，而單位時間通過一個點的量就是「密度 × 速度」$=p_tu_t$。所以

$$\frac{\partial}{\partial t}\big(p_t(x)\,\Delta x\big) =\underbrace{p_t(x)u_t(x)}_{\text{左端流進}}-\underbrace{p_t(x+\Delta x)u_t(x+\Delta x)}_{\text{右端流出}} .$$

兩邊除以 $\Delta x$、令 $\Delta x\to0$，右邊那個差商就是 $-\partial_x(p_tu_t)$：

$$\partial_t p_t(x)=-\partial_x\big(p_t(x)u_t(x)\big).$$

移項就是上面那條式子。高維唯一的差別是「兩端」變成一個封閉曲面，差商變成散度 $\nabla\cdot$（M0.1）。

注意這裡沒有用到任何機率的性質——同一條式子對水、對車流、對熱都成立。它說的只是「東西不會憑空出現或消失」。

這條式子真正好用的地方在於它是雙向的：

• 給我一個速度場，它告訴我分布會怎麼變；
• 反過來，如果我手上先有一條分布路徑 $p_t$，那任何滿足這條式子的 $u_t$ 都能推動它——注意這是一個充分條件，而且滿足它的 $u_t$ 通常不只一個（下一節會看到到底有多少個）。

我們就說這樣的 $u_t$ 生成 $p_t$。這正是上一篇那個新問法能站得住的原因。

要驗證一個速度場對不對，不必解 ODE——代進 continuity equation 就好。

互動 demo：速度場遊樂場。 選一個速度場，按播放看粒子沿著它走。先試「旋轉」：每一顆粒子都在動、軌跡是一圈一圈的，但整團雲從頭到尾一模一樣——因為 Gaussian 是旋轉對稱的。這就是「粒子在動、分布不動」最乾淨的例子。再試「收縮」「鞍點」「推到雙月」，看分布真的被推著變形。

同一對端點，無限多條路

固定 $p_0=\mathcal N(0,I)$、$p_1=p_{\text{data}}$，中間怎麼走？

• 可以讓 $p_t$ 沿 VP 路徑走——U1 的 PF-ODE 就是這樣。
• 可以讓 $p_t$ 是兩端的線性插值。
• 也可以先把所有東西縮成一個點、再展開（很怪，但合法）。

每一條分布路徑都有速度場生成它。更麻煩的是，同一條分布路徑也有無限多個速度場：只要 $w$ 滿足 $\nabla\cdot(p_t w)=0$，那 $u_t+w$ 也生成同一個 $p_t$。粒子可以沿著等密度面繞圈圈，分布一點都不會變——demo 裡的「旋轉」就是這件事的具體例子。

所以「找一個速度場」其實有兩層自由度：挑哪一條分布路徑，以及在那條路徑上挑哪一個速度場。

課堂提問Q1

continuity equation 說：任何滿足它的 $u_t$ 都生成同一條 $p_t$。而生成要的只是最後那個 $p_1=p_{\text{data}}$。

所以聽起來，這兩層自由度其實是免費的——隨便挑一個滿足式子的速度場，生出來的樣本分布都一樣。

這樣想哪裡不對？

先想一想，再展開看整理後的答案

就「生出來的分布」而言，完全沒有不對——那正是 continuity equation 說的話。

不對的是「所以隨便挑都一樣好」這個推論。因為我們不是把 $\psi_1$ 算出來，而是用數值方法解 ODE，而解 ODE 要花的步數取決於軌跡長什麼樣子。

demo 裡的「旋轉」就是最極端的例子：粒子一圈一圈地繞，分布從頭到尾不動。它確實滿足 continuity equation（$\nabla\cdot(p_tw)=0$），但你要是把它加到一個正確的速度場上，軌跡會被繞得很長——而樣本分布一模一樣。

兩層自由度不影響「走到哪裡」，只影響「要走幾步才走得到」。

所以挑速度場的標準不是對錯，是代價。U2.3 會看到路徑的選擇怎麼影響這件事，U3.2 會把「軌跡有多彎」寫成一個算得出來的數。

Flow matching 的做法很乾脆：用一個簡單的建構把兩層一次固定下來。那就是下一篇。

消化一下

想一想

兩條 ODE 軌跡在 $t=0.5$ 相遇於同一點，之後會發生什麼？ 它們會分開，各自走向不同的終點。 它們從此重合，終點相同。 取決於速度場是不是線性。

看解答

想一想

若 $u_t$ 生成 $p_t$，而 $w_t$ 滿足 $\nabla\cdot(p_t w_t)=0$，那麼： $u_t+w_t$ 生成另一條不同的分布路徑。 $u_t+w_t$ 也生成同一個 $p_t$，只是粒子的軌跡不同。 $w_t$ 一定是零。

看解答

想一想

為什麼我們學速度場，而不是直接學生成器 $\psi_1$？ 因為 $\psi_1$ 不可逆。 因為速度場的網路比較小。 因為路徑一旦指定，中間每個點的速度就是已知的回歸目標；而 $\psi_1$ 沒有現成的監督訊號。

看解答

參考文獻

1. Chen, R. T. Q., Rubanova, Y., Bettencourt, J., Duvenaud, D. Neural Ordinary Differential Equations. NeurIPS 2018. （用神經網路當速度場、解 ODE 當生成。）
2. Lipman, Y., Chen, R. T. Q., Ben-Hamu, H., Nickel, M., Le, M. Flow Matching for Generative Modeling. ICLR 2023. （下一篇的主線。）