M2.1 從一片葉子到一群葉子：Flow Map 與 Pushforward

本篇重用2 篇

• M2.0河面上的箭頭：Vector Field 與 ODE
• M1.0兩台體重計：Gaussian 的線性組合

一千片葉子

上一篇（M2.0）解決了一片葉子的問題：水流地圖 $v$ 已知，葉子從 $x_0$ 出發，一分鐘後在一個確定的位置。

現在換個玩法。你抓起一把葉子——一千片——從橋上撒下去。它們不會落在同一點，而是散在橋下一小塊水面上：靠中間多、靠邊少。一分鐘後，這一千片葉子會散成什麼樣子？哪裡密、哪裡稀？

每片葉子都順著同一張地圖走，但整團葉子不一定只平移到下游：前面的水流較快，葉子會被拉開；往中央匯合時，葉子又會變擠。已知每個起點會被送到哪，能不能算出搬運後的 density？ 這次要追的不是一片葉子，而是整個 distribution。

課堂提問Q1

翻成數學。「一千片葉子的散佈」是什麼物件？「一分鐘後的散佈」又是什麼？我們想求的量，跟上一篇的 $x(60)$ 有什麼關係？

先想一想，再展開看整理後的答案

課堂上第一個反應通常是「一千個點的位置」。這沒錯，但它是樣本，不是我們想要的東西。一千片葉子是從某個分佈抽出來的：撒葉子的手決定了「落在橋下哪個位置」的機率密度 $p_0(x)$——中間高、邊緣低。所以：

起點是一個隨機變數 $X_0\sim p_0$，一千片葉子是它的一千個獨立樣本。

每片葉子接下來的路是確定的。 上一篇說，從 $x_0$ 出發的葉子在時刻 $t$ 的位置是 ODE 的唯一解。把這個對應寫成一個函數：

$$\Phi_t(x_0)\;=\;\text{從 }x_0\text{ 出發、順著 }v\text{ 走到時刻 }t\text{ 的位置}.$$

$\Phi_t:\mathbb R^d\to\mathbb R^d$ 叫 flow map：它不是一片葉子的路，而是「所有起點同時被送到哪」的一張總表。

一分鐘後的散佈是隨機變數 $X_t=\Phi_t(X_0)$ 的分佈，記成 $p_t$。我們想求的就是 $p_t$。它和上一篇的關係是：上一篇算的是一個特定輸入 $x_0$ 的輸出 $\Phi_t(x_0)$；這一篇是把整個分佈送進 $\Phi_t$。這個操作有名字，叫 pushforward（把分佈往前推），寫成 $p_t=(\Phi_t)_\#\,p_0$。

一塊會變形的果凍

把橋下那團葉子想成一塊軟果凍，每一小塊果凍就是一小群葉子。水流帶著果凍往下游走，同時把它揉變形：流速在前進方向變快的地方，果凍被拉長，同樣多的葉子占了更大的面積，變稀；水流往中央匯合的地方，果凍被壓扁，變密。

但有兩件事水流做不到。第一，它不能讓兩塊不同的果凍融成一塊——那需要兩片不同的葉子在同一時刻到達同一點，上一篇說這不會發生。第二，它不能把果凍撕開——軌跡是連續的。所以一分鐘後的果凍，是原本那塊被連續、不重疊地變形的結果：每一小塊有多少葉子沒變，只是占的面積變了。密度 = 葉子數 ÷ 面積，所以密度的變化完全由面積的伸縮決定。

圖：小塊中的點數不變；面積伸縮透過 Jacobian 改變密度。

flow map、pushforward、change of variables

Flow map 的性質。 假設速度場滿足存在唯一的條件，而且解在需要的正向、反向時間區間都存在。由 M2.0 可得：

1. $\Phi_0=\mathrm{id}$；且 $\Phi_t$ 對 $x_0$ 是 continuous 的（起點差一點、終點差一點，差距至多放大 $e^{Lt}$ 倍——這是 M2.3 裡 Grönwall 不等式的內容，先當結論）。
2. 可逆。 $\Phi_t$ 是一對一的：若 $\Phi_t(a)=\Phi_t(b)$，兩條軌跡在時刻 $t$ 相交，唯一性說它們整條相同，故 $a=b$。反函數就是「把時間倒著走」：$\Phi_t^{-1}$ 是 vector field $-v(x,t-s)$ 走 $t$ 秒的 flow map。所以 $\Phi_t$ 是一個 diffeomorphism（可微、可逆、反函數也可微的映射），只要 $v$ 夠 smooth。
3. 若 $v$ 不隨時間變，還有 $\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$：先走 $t$ 秒再走 $s$ 秒，等於一次走 $s+t$ 秒。

Pushforward 的定義。 給一個可測映射 $\Phi$ 與一個分佈 $p_0$，$\Phi_\#p_0$ 是「先從 $p_0$ 抽 $X_0$、再算 $\Phi(X_0)$」得到的分佈。用集合寫：對任何區域 $A$，

$$(\Phi_\#p_0)(A)\;=\;p_0\big(\Phi^{-1}(A)\big)$$

——落在 $A$ 的機率，等於「會被送進 $A$ 的那些起點」在 $p_0$ 下的機率。這個定義對任何映射都成立，不需要可逆。

密度公式（change of variables）。 假設起點有 density $p_0$，且 $\Phi_t$ 是 diffeomorphism，Jacobian 的行列式不為零。此時：

$$p_t(y)\;=\;p_0\big(\Phi_t^{-1}(y)\big)\;\Big|\det\nabla\Phi_t^{-1}(y)\Big| \;=\;\frac{p_0(x)}{\big|\det\nabla\Phi_t(x)\big|}\,,\qquad x=\Phi_t^{-1}(y).$$

三行推導：取 $y$ 附近的小方塊 $A$，它的原像 $\Phi_t^{-1}(A)$ 是 $x$ 附近的一個小平行體，體積是 $|\det\nabla\Phi_t^{-1}(y)|\cdot\mathrm{vol}(A)$（Jacobian 就是「局部把體積放大多少倍」）。兩邊的機率相等：$p_t(y)\,\mathrm{vol}(A)\approx p_0(x)\,|\det\nabla\Phi_t^{-1}(y)|\,\mathrm{vol}(A)$。消掉 $\mathrm{vol}(A)$ 即得。$\square$

這正是上一節「密度變化完全來自面積伸縮」的公式版：$|\det\nabla\Phi_t|$ 就是果凍那一小塊被放大的倍數。

展開細節一維的完整例子：ẋ = −x，起點是標準 Gaussian

flow map 是 Φ_t(x) = e^(−t) x（代入：d/dt e^(−t)x = −e^(−t)x = −Φ_t ✓）。反函數 Φ_t^(−1)(y) = e^t y，導數 e^t。若 p₀ = N(0,1)，則 p_t(y) = p₀(e^t y)·e^t = (2π)^(−1/2) e^t exp(−e^(2t) y²/2)， 也就是 N(0, e^(−2t))：所有葉子往原點收攏，分佈越來越窄，但總質量不變（積分仍是 1，因為多出來的 e^t 正好補償變窄）。這個例子在下一篇會再用一次，用另一條路算出同一個答案。

直覺的一半對、一半漏

公式描述的是局部體積，不是整個形狀。即使 $|\det\nabla\Phi_t|=1$，一塊正方形仍可以被剪切成平行四邊形；面積沒變，形狀卻變了。對 smooth 的 flow，$\nabla\cdot v=0$ 會保體積；一般情況則是小塊中的葉子數不變，density 按局部體積伸縮的反比改變。

Pushforward 的集合定義只需要一個已選定的可測映射，不要求可逆。上面的單一反函數公式則需要更強的條件：若多個起點被送到同一點，就不能直接套用它；若一整塊質量被壓成一點，結果甚至不再有普通的 density。ODE 解不唯一時，也必須先說明選擇哪條解，才有一個確定的 $\Phi_t$。

數葉子，還是算公式

兩種方法各有成本。抽 $N$ 個起點、解 ODE 後數落進某個固定區域的比例，sampling error 通常是 $O(N^{-1/2})$；若要估計 density，還有直方圖格子大小帶來的誤差。Change of variables 沒有這種 sampling error，但一般要數值計算反向 flow 與 Jacobian，也不表示完全沒有誤差。

import numpy as np
t, N = 1.0, 1000
x0 = np.random.randn(N)                 # p0 = N(0,1)
xt = np.exp(-t) * x0                    # Phi_t for xdot = -x（此例有 closed form）
ys = np.linspace(-2, 2, 200)
p_formula = np.exp(t) * np.exp(-(np.exp(t)*ys)**2/2) / np.sqrt(2*np.pi)
hist, edges = np.histogram(xt, bins=40, range=(-2, 2), density=True)
# 直方圖與 p_formula 應重合；N 改成 100 看直方圖變毛

檢查理解

想一想

你把一張照片的每個像素座標經過同一個可逆的幾何變形（例如魚眼鏡頭效果）。「原圖中某區域的像素密度」與「變形後對應區域的像素密度」之間的關係，該用哪個工具？ ODE 的存在唯一定理。 Pushforward 的 change of variables：新密度 = 舊密度 ÷ 該點的 Jacobian 行列式絕對值。 Vector field 的 divergence。

看解答

想一想

假設已經選定一個可測映射 $\Phi_t$，但它把不同起點送到同一點。這時： pushforward $p_t=(\Phi_t)_\#p_0$ 沒有定義。 pushforward 仍有定義（集合版的定義不需要可逆），但 $\Phi_t$ 不再一對一，change of variables 的密度公式失效，$p_t$ 可能在該點沒有密度（質量堆成一點）。 什麼都不受影響，只是 Jacobian 變大。

看解答

想一想

場 $v(x,y)=(-y,\,x)$（整條河在原地打轉）把 $p_0=\mathcal N(0,I)$ 推到時刻 $t$ 的 $p_t$ 是： 一個越來越窄的 Gaussian。 一個越來越寬的 Gaussian。 還是 $\mathcal N(0,I)$：旋轉保體積（Jacobian 行列式為 1），而標準 Gaussian 又是旋轉對稱的，所以每片葉子都在動，分佈卻一動也不動。

看解答

參考文獻

1. Hirsch, M. W., Smale, S., Devaney, R. L. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, 3rd ed., 2013.（第 7 章：flow 的定義與性質，$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$。）
2. Villani, C. Topics in Optimal Transportation. AMS Graduate Studies in Mathematics 58, 2003.（第 1 章：pushforward（transport of measure）的定義與 change of variables。）
3. Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes. Oxford University Press, 3rd ed., 2001.（第 4 章：隨機變數的函數與密度的變數變換公式。）