M2.1 從一片葉子到一群葉子：Flow Map 與 Pushforward

本篇重用M2.0河面上的箭頭：Vector Field 與 ODE·M1.0兩台體重計：Gaussian 的線性組合

一千片葉子

上一篇（M2.0）解決了一片葉子的問題：水流地圖 $u$ 已知，葉子從 $x_0$ 出發，一分鐘後在一個確定的位置。

現在換個玩法。你抓起一把葉子——一千片——從橋上撒下去。它們不會落在同一點，而是散在橋下一小塊水面上：靠中間多、靠邊少。一分鐘後，這一千片葉子會散成什麼樣子？哪裡密、哪裡稀？

先用直覺回答，並寫下你有多確定。常見的答案是：「每片葉子各自順著箭頭走，所以整群葉子就是原本那團的形狀被水流『搬』到下游」。這個答案抓到了一件對的事——每片葉子的命運彼此無關；但它漏了一件事：水流有地方快、有地方慢，有地方匯合、有地方分開，搬過去的那團形狀會變。快的地方葉子被拉開、變稀；匯合的地方葉子被擠在一起、變密。那麼密到多密、稀到多稀？能不能不靠撒一千片葉子去數，直接算出來？

課堂提問Q1

翻成數學。「一千片葉子的散佈」是什麼物件？「一分鐘後的散佈」又是什麼？我們想求的量，跟上一篇的 $x(60)$ 有什麼關係？

先想一想，再展開看整理後的答案

課堂上第一個反應通常是「一千個點的位置」。這沒錯，但它是樣本，不是我們想要的東西。一千片葉子是從某個分佈抽出來的：撒葉子的手決定了「落在橋下哪個位置」的機率密度 $p_0(x)$ ——中間高、邊緣低。所以：

起點是一個隨機變數 $X_0\sim p_0$ ，一千片葉子是它的一千個獨立樣本。

每片葉子接下來的路是確定的。 上一篇說，從 $x_0$ 出發的葉子在時刻 $t$ 的位置是 ODE 的唯一解。把這個對應寫成一個函數：

\Phi_t(x_0)\;=\;\text{從 }x_0\text{ 出發、順著 }u\text{ 走到時刻 }t\text{ 的位置}.

$\Phi_t:\mathbb R^d\to\mathbb R^d$ 叫 flow map：它不是一片葉子的路，而是「所有起點同時被送到哪」的一張總表。

一分鐘後的散佈是隨機變數 $X_t=\Phi_t(X_0)$ 的分佈，記成 $p_t$ 。我們想求的就是 $p_t$ 。它和上一篇的關係是：上一篇算的是一個特定輸入 $x_0$ 的輸出 $\Phi_t(x_0)$ ；這一篇是把整個分佈送進 $\Phi_t$ 。這個操作有名字，叫 pushforward（把分佈往前推），寫成 $p_t=(\Phi_t)_\#\,p_0$ 。

先看畫面：一塊會變形的果凍

把橋下那團葉子想成一塊軟果凍，每一小塊果凍就是一小群葉子。水流帶著果凍往下游走，同時把它揉變形：流速在前進方向變快的地方，果凍被拉長，同樣多的葉子占了更大的面積，變稀；水流往中央匯合的地方，果凍被壓扁，變密。

但有兩件事水流做不到。第一，它不能讓兩塊不同的果凍融成一塊——那需要兩片不同的葉子在同一時刻到達同一點，上一篇說這不會發生。第二，它不能把果凍撕開——軌跡是連續的。所以一分鐘後的果凍，是原本那塊被連續、不重疊地變形的結果：每一小塊有多少葉子沒變，只是占的面積變了。密度 = 葉子數 ÷ 面積，所以密度的變化完全由面積的伸縮決定。

示意圖 · 規劃中一團葉子被水流搬走並變形

檔名：m2-deterministic-dynamics/imgs/m2-1-1.svg，16:9。
版面：左中右三格，同一條河（俯視），vector field 用淡灰短箭頭鋪底。場選一個會「先加速再匯合」的： $u(x,y)=(1+0.5x/\ell,\;-0.5\,y)$ （ $\ell$ 是一個空間尺度，和 Lipschitz 常數 $L$ 無關）（往右越流越快，同時往中線收攏）。
左格 $t=0$ ：橋下一個圓形的點雲（ $\mathcal N(0,\sigma^2 I)$ 抽 300 點），畫出五個等密度的同心圓（等高線），並在點雲上疊一個 $3\times3$ 的方格網。
中格 $t=20$ 、右格 $t=40$ ：同一批點被 $\Phi_t$ 送到的位置；方格網跟著變形——橫向被拉長（加速）、縱向被壓扁（匯合）；等高線變成拉長的橢圓。每個格子裡的點數不變（在角落標出其中一格的點數，三格都是同一個數字），但面積變了。
三格之間用箭頭連接，箭頭上寫 $\Phi_{20}$ 、 $\Phi_{40}$ 。
圖說：「水流不會讓兩片葉子重合，也不會把葉子群撕開，所以每一小塊裡的葉子數守恆；密度的變化完全來自那一小塊面積的伸縮。這就是 pushforward 的畫面。」

寫成數學：flow map、pushforward、change of variables

Flow map 的性質。 由 M2.0 的存在唯一（Lipschitz 條件下）：

$\Phi_0=\mathrm{id}$ ；且 $\Phi_t$ 對 $x_0$ 是 continuous 的（起點差一點、終點差一點，差距至多放大 $e^{Lt}$ 倍——這是 M2.3 裡 Grönwall 不等式的內容，先當結論）。
可逆。 $\Phi_t$ 是一對一的：若 $\Phi_t(a)=\Phi_t(b)$ ，兩條軌跡在時刻 $t$ 相交，唯一性說它們整條相同，故 $a=b$ 。反函數就是「把時間倒著走」： $\Phi_t^{-1}$ 是 vector field $-u(x,t-s)$ 走 $t$ 秒的 flow map。所以 $\Phi_t$ 是一個 diffeomorphism（可微、可逆、反函數也可微的映射），只要 $u$ 夠 smooth。
若 $u$ 不隨時間變，還有 $\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ ：先走 $t$ 秒再走 $s$ 秒，等於一次走 $s+t$ 秒。

Pushforward 的定義。 給一個可測映射 $\Phi$ 與一個分佈 $p_0$ ， $\Phi_\#p_0$ 是「先從 $p_0$ 抽 $X_0$ 、再算 $\Phi(X_0)$ 」得到的分佈。用集合寫：對任何區域 $A$ ，

(\Phi_\#p_0)(A)\;=\;p_0\big(\Phi^{-1}(A)\big)

——落在 $A$ 的機率，等於「會被送進 $A$ 的那些起點」在 $p_0$ 下的機率。這個定義對任何映射都成立，不需要可逆。

密度公式（change of variables）。 若 $\Phi$ 可逆且可微，pushforward 有密度：

p_t(y)\;=\;p_0\big(\Phi_t^{-1}(y)\big)\;\Big|\det\nabla\Phi_t^{-1}(y)\Big| \;=\;\frac{p_0(x)}{\big|\det\nabla\Phi_t(x)\big|}\,,\qquad x=\Phi_t^{-1}(y).

三行推導：取 $y$ 附近的小方塊 $A$ ，它的原像 $\Phi_t^{-1}(A)$ 是 $x$ 附近的一個小平行體，體積是 $|\det\nabla\Phi_t^{-1}(y)|\cdot\mathrm{vol}(A)$ （Jacobian 就是「局部把體積放大多少倍」）。兩邊的機率相等： $p_t(y)\,\mathrm{vol}(A)\approx p_0(x)\,|\det\nabla\Phi_t^{-1}(y)|\,\mathrm{vol}(A)$ 。消掉 $\mathrm{vol}(A)$ 即得。 $\square$

這正是上一節「密度變化完全來自面積伸縮」的公式版： $|\det\nabla\Phi_t|$ 就是果凍那一小塊被放大的倍數。

展開細節一維的完整例子：ẋ = −x，起點是標準 Gaussian

flow map 是 Φ_t(x) = e^(−t) x（代入：d/dt e^(−t)x = −e^(−t)x = −Φ_t ✓）。反函數 Φ_t^(−1)(y) = e^t y，導數 e^t。若 p₀ = N(0,1)，則 p_t(y) = p₀(e^t y)·e^t = (2π)^(−1/2) e^t exp(−e^(2t) y²/2)，也就是 N(0, e^(−2t))：所有葉子往原點收攏，分佈越來越窄，但總質量不變（積分仍是 1，因為多出來的 e^t 正好補償變窄）。這個例子在下一篇會再用一次，用另一條路算出同一個答案。

回到河面：直覺的一半對、一半漏

起點問題的直覺答案是「那團葉子的形狀被搬到下游」。對的部分：每片葉子確實各走各的，所以整群的分佈就是 $p_0$ 經 $\Phi_t$ 的 pushforward——不多不少，沒有葉子憑空出現或消失。漏掉的部分：「形狀不變」隱含假設了 $|\det\nabla\Phi_t|\equiv1$ ，也就是水流處處保體積。一般的水流不是這樣；只有 $\nabla\cdot u=0$ 的場（M0.1）才會保體積。所以正確的說法是：葉子的數目守恆，密度按 Jacobian 反比縮放。

這個判斷依賴什麼？依賴 $\Phi_t$ 可逆——也就是上一篇的 Lipschitz 條件。若河面某處水流不是 Lipschitz 的，兩片葉子可能在同一點分道揚鑣，或者反過來說「哪些起點會被送到這裡」不再唯一，pushforward 的集合定義仍然成立（它不需要可逆），但密度公式失效：可能在一個點堆出無限大的密度。

回到河面：數葉子，還是算公式

兩種方法都能得到 $p_t$ ：數葉子是抽 $N$ 個 $X_0$ 、各自解 ODE、畫直方圖，誤差來自有限樣本，大約隨 $1/\sqrt N$ 縮小（M1.0 那類 variance 相加的算法）；算公式是對每個 $y$ 反解 $\Phi_t^{-1}(y)$ 並算 Jacobian，沒有取樣誤差，但每個 $y$ 都要解一次反向 ODE。

import numpy as np
t, N = 1.0, 1000
x0 = np.random.randn(N)                 # p0 = N(0,1)
xt = np.exp(-t) * x0                    # Phi_t for xdot = -x（此例有 closed form）
ys = np.linspace(-2, 2, 200)
p_formula = np.exp(t) * np.exp(-(np.exp(t)*ys)**2/2) / np.sqrt(2*np.pi)
hist, edges = np.histogram(xt, bins=40, range=(-2, 2), density=True)
# 直方圖與 p_formula 應重合；N 改成 100 看直方圖變毛

互動 demo · 規劃中撒一千片葉子 vs. 用 change of variables 算密度

位置：本節之後。檔名：m2-deterministic-dynamics/m2-1-1.html。
版面：上半是俯視的河（2D），下半是沿中線的 1D 密度圖。上半畫 vector field 的短箭頭；點雲從 $p_0=\mathcal N(0,\sigma^2I)$ 抽出，隨時間滑桿 $t\in[0,40]$ 被 $\Phi_t$ 送走（每片葉子用 ODE 數值積分）。
控制項：滑桿 $t$ ；滑桿「葉子數 $N$ 」（ $100,\,1000,\,10000$ ，對數）；下拉選單「水流地圖」：(a) 保體積的旋轉場 $u=(-y,x)$ ，(b) 收攏場 $u=(1,-0.5y)$ ，(c) 加速場 $u=(1+0.5x/\ell,\,0)$ ，(d) 非 Lipschitz 的收攏場 $u=(1,-\mathrm{sign}(y)\sqrt{|y|})$ 。
下半：兩條曲線疊在一起——葉子位置在 $y$ 方向的直方圖（柱狀）、以及公式 $p_0(\Phi_t^{-1}(y))\,|\det\nabla\Phi_t^{-1}(y)|$ 算出的密度（實線，用反向 ODE 加數值 Jacobian）。右上角顯示兩者的最大差距。
行為：場 (a) 等高線只旋轉不變形，直方圖與公式重合；(b)、(c) 等高線被壓扁或拉長，公式曲線變高變窄或變低變寬，直方圖跟著走； $N$ 越大兩者越貼合， $N=100$ 時直方圖明顯毛躁但公式曲線不變。場 (d) 拉到 $t$ 夠大時，所有葉子在有限時間內被收到中線 $y=0$ （ $\sqrt{|y|}$ 場會在有限時間到達零），直方圖在 $y=0$ 堆成一根極高的柱子，公式曲線在中線發散、顯示「Jacobian → 0，密度公式失效」的警示字。
Hover 上半任一片葉子：畫出它的整條軌跡與起點，並在下半標出它的起點密度 $p_0(x_0)$ 與終點密度 $p_t(y)$ 、以及比值 $=1/|\det\nabla\Phi_t|$ 。
底部觀察句：「觀察：數葉子與算公式給的是同一個 $p_t$ ；前者的誤差是有限樣本，後者沒有取樣誤差但要可逆。保體積的場只搬形狀不改密度；一般的場按 Jacobian 反比改密度；非 Lipschitz 的場能把葉子擠成一點，公式在那裡失效。」
匯出 PNG：上下兩半併成 16:9，含當前 $t$ 、 $N$ 與場的名字。

先消化一下

想一想

若水流地圖不是 Lipschitz 的，導致兩片從不同起點出發的葉子在時刻 $t$ 到達同一點。這時：

參考文獻

Hirsch, M. W., Smale, S., Devaney, R. L. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, 3rd ed., 2013.（第 7 章：flow 的定義與性質， $\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ 。）
Villani, C. Topics in Optimal Transportation. AMS Graduate Studies in Mathematics 58, 2003.（第 1 章：pushforward（transport of measure）的定義與 change of variables。）
Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes. Oxford University Press, 3rd ed., 2001.（第 4 章：隨機變數的函數與密度的變數變換公式。）