U3.2 把「彎」寫成一個算得出來的數

本篇重用M0.2導航的三十秒：Taylor 展開與「假設直線」·M2.3導航每 30 秒更新一次：Euler 法與它的誤差·M6.1兩個城市的人口分佈差多少：W₂ 距離·M3.4每條路徑對，還是最後的分佈對：Weak 與 Strong Convergence

「彎」到目前為止還是一個形容詞

U2.3 和 U2.5 都說軌跡越彎、少步數的誤差越大，而且 demo 量得出來。但「彎」到現在還是一個看圖說話的形容詞——沒有一個數，就沒辦法比較兩個模型、也沒辦法拿它當優化目標。

「彎」能不能寫成一個數？
而且那個數真的壓住誤差嗎？

Euler 走一步差多少

真實軌跡 $x_t$ 滿足 $\dot x_t=u_t(x_t)$ 。Euler 從 $x_t$ 走一步得到 $x_t+h\,u_t(x_t)$ ，而真實解的 Taylor 展開是

x_{t+h}=x_t+h\,\dot x_t+\frac{h^2}{2}\ddot x_\xi\quad(\xi\in[t,t+h]).

前兩項就是 Euler 走的那一步，所以局部誤差是 $\frac{h^2}{2}\|\ddot x_\xi\|$ ——整個誤差來源就是那個二階項。把它寫開：

\ddot x_t=\frac{d}{dt}u_t(x_t)=\underbrace{\partial_t u_t(x_t)}_{\text{場自己在變}}+\underbrace{\big(u_t\cdot\nabla\big)u_t(x_t)}_{\text{粒子換位置了}} .

兩項各有意思。第一項是「站在原地不動，速度場隨時間變了多少」；第二項是「粒子跑到新位置之後，看到的速度和原來差多少」。軌跡是等速直線的時候，兩項都是零，Euler 一步就精確。

一步的誤差怎麼變成終點的誤差

一步的誤差不會乖乖留在原地——它會被後面的流放大或縮小。如果 $u_t$ 對 $x$ 是 $L$ -Lipschitz，兩條相距 $\delta$ 的軌跡經過時間 $\tau$ 之後最多相距 $\delta e^{L\tau}$ （Grönwall）。把 $N=1/h$ 步的局部誤差各自放大再加起來：

\|x^{\text{Euler}}_1-x_1\|\ \le\ \sum_{k}\frac{h^2}{2}\|\ddot x_{\xi_k}\|\,e^{L(1-t_k)} \ \le\ \frac{e^L}{2}\,h\int_0^1\|\ddot x_t\|\,dt+o(h).

把每一步的局部誤差加起來、再把「被流放大」的因子收成一個常數 $C_L$ ，就得到這一篇要的那一行：

\boxed{\;\text{Euler 全域誤差}\ \lesssim\ C_L\,h\int_0^1\big\|\partial_t u_t+(u_t\cdot\nabla)u_t\big\|_{x=x_t}\,dt\;}

這個式子把 U2.5 那張 log-log 圖的兩個訊息分得很乾淨：

$h$ 給斜率。 一階，所以 log-log 上是 $-1$ 。
積分給高度。 軌跡越彎，同樣步數誤差越大；積分為零時一步 Euler 就是精確解。
$C_L$ 是速度場的正則性。它同時放大所有誤差，但不由「路徑直不直」控制——所以它不是我們這個單元要動的東西。

「彎」現在是一個數： $\int_0^1\|\ddot x_t\|\,dt$ 。這也是 U3.3 與 U3.4 真正在壓小的量。

展開細節從單條軌跡的誤差到分布層級的 W₂ 上界

上面的不等式是對一條軌跡說的。取樣關心的是終點分布，所以要把它升級。

把單條軌跡的誤差對起點 $x_0\sim p_0$ 取平方期望開根號：

W_2\big(\text{Euler 的終點分布},\,p_1\big)\ \le\ \Big(\mathbb E_{x_0}\big\|x_1^{\text{Euler}}-x_1\big\|^2\Big)^{1/2}.

理由是 $W_2$ 是所有耦合裡距離的下確界，而「同一個 $x_0$ 出發的那兩個終點」本身就是一個合法的耦合——任何一個耦合都給出上界。所以只要控制得住逐軌跡的誤差，就控制得住分布的距離。

反過來不成立： $W_2$ 很小不代表逐軌跡誤差小（兩堆樣本可以分布相同、卻沒有一對彼此靠近——這正是 U1.0 Q2 的那個坑）。

互動 demo：曲率積分真的壓住誤差嗎。 上面是一個不等式，這裡是六個設定的實測散點：橫軸曲率積分、縱軸 Euler 的終點誤差，兩軸都取對數。六個點排在一條斜率約 1 的線上（ $r$ 通常 0.95 以上），所以那個積分不只是上界裡的一個符號，它真的在預測誤差。最有效的一招是換配對——線性路徑從獨立換成依位置，積分從約 9 掉到 1.4。（「怎麼換配對」本篇不處理，U3.3 與 U3.4 各給一個做法。這裡只要接受一件事：這個積分是可以被壓下去的，而且壓它就等於省步數。）

SDE 為什麼不能用同一個量

SDE 的軌跡是布朗運動加 drift， $\ddot x_t$ 根本不存在，「這條軌跡直不直」在那裡沒有意義。控制 Euler–Maruyama 誤差的是另一組東西：drift $b+\varepsilon s$ 對 $x$ 、 $t$ 的 Lipschitz 常數與導數界，以及噪聲強度 $\varepsilon$ 。而且它有兩種階數要分開講——弱收斂（邊際）是 $O(h)$ 、強收斂（單條軌跡）只有 $O(h^{1/2})$ 。取樣只看終點分布，所以看弱誤差。

第一，拉直不會幫到 SDE。 曲率積分是 ODE 的量；SDE 那邊對應的是 drift 的正則性，兩者不是同一個東西。

第二，SDE 的誤差不會像 ODE 那樣線性累積。 U3.1 的 Langevin 項會把偏離拉回來，所以一部分離散誤差會被後面的步吃掉。但 U3.1 的 demo 也顯示這件事有條件：修正需要足夠大的 $\varepsilon$ 和足夠的剩餘時間，不是自動發生的。

粗略的圖像是：ODE 每一步犯錯少但全部累積，SDE 每一步犯錯多但錯不會全留下。

直的軌跡和厚的中間分布，能不能都要？

課堂提問Q1

U3.3 會用 reflow 把軌跡拉直，讓 $\int\|\ddot x\|\,dt$ 往 0 靠。既然拉直之後誤差這麼小，那能不能再把 U3.1 的 Langevin 項加上去，同時享有直軌跡和自我修正？

先想一想，再展開看整理後的答案

不能，而且原因是結構性的，不是工程上還沒做到。

Reflow 的核心是把配對 $\pi$ 換成確定性的耦合（每個 $x_0$ 對到唯一的 $x_1$ ），並且 $\gamma\equiv0$ 。U3.0 Q1 說過這時候發生什麼事：給定 $x_t$ ，端點就定死了，沒有後驗可以平均，所以沒有可回歸的 score——寫不出 SDE 取樣器。

要有 score 就得留 $\gamma_t \gt 0$ 。但 $\gamma_t z$ 把每一條條件路徑撐成一根有寬度的管子，管子互相重疊，於是邊際速度又變回一個平均， $\int\|\ddot x\|\,dt$ 就回不到 0 了。

這兩個要求要的是互斥的圖像：

「所有粒子沿確定的直線走」和「中間分布有厚度、偏了可以拉回來」不可能同時成立。

上面 demo 的數字剛好把這件事量出來，而且方向不是單一的：

線性路徑、獨立配對：積分約 9。
換成依位置配對（近似不交叉）：掉到約 1.4——換配對是最有效的一招。
在好配對上加 $\gamma$ ：積分回升到約 3.5。這就是上面說的那個代價。
在壞配對上加 $\gamma$ ：反而掉到約 6。因為這時候 $\gamma$ 主要的作用是把速度場抹平，抹平帶來的好處大於管子重疊帶來的壞處。

所以「加 $\gamma$ 會讓軌跡更彎」這句話只在配對已經很好的時候才對。真正沒有例外的是那句結構性的話： $\gamma \gt 0$ 讓積分不可能等於 0。

實務上的折衷就是取小一點的 $\gamma$ ：路徑接近直線，同時留一點 score 可用。 $\gamma_t$ 該多大目前沒有定論。

示意圖 · 規劃中加速度的兩個來源

檔名 imgs/w5-2-1.png，放在 Q1 之後、「消化一下」之前。
版面：左右兩塊，各解釋 $\ddot x_t$ $\overset{x}{¨}_{t}$ 的一項；右邊再加一塊小圖講「積分為零長什麼樣」。
- 左「場自己在變： $\partial_t u_t$ 」：同一個位置（用一個小白圈標住、位置不動），畫兩支不同時刻的箭頭（ $t$ 與 $t+h$ ），方向明顯不同；旁註「粒子沒動，速度就變了」。
- 中「粒子換位置了： $(u_t\cdot\nabla)u_t$ 」：一個凍結的速度場（網格箭頭，長短不一），一顆粒子沿著它移動兩步，畫出它在兩個位置看到的箭頭，方向不同；旁註「場沒變，但粒子走到了不一樣的地方」。
- 右「積分為零」：一片完全均勻的箭頭場（全部同向同長），一條直線軌跡，Euler 的一步折線與真實曲線完全重合；旁註「等速直線：一步 Euler 就是精確解」。
底部一句：「Euler 的全域誤差 ≲ $C_L\,h\int_0^1\|\ddot x_t\|\,dt$ ： $h$ 是預算，積分是路徑的性質。」
風格：與 w-3-0-2.png 一致（淺底、扁平、繁體中文標註、強調靛 #2a4ea3／路徑綠 #60ba82）。
長寬比：約 16:6。

消化一下

參考文獻

Hairer, E., Nørsett, S. P., Wanner, G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Springer. （Euler 的局部／全域誤差與 Grönwall 論證的標準參考。）
Liu, X., Gong, C., Liu, Q. Flow Straight and Fast: Learning to Generate and Transfer Data with Rectified Flow. ICLR 2023. （把「軌跡有多直」當成要優化的量，下一篇的主線。）
Kloeden, P. E., Platen, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer. （Euler–Maruyama 的弱收斂 $O(h)$ 與強收斂 $O(h^{1/2})$ 。）