M2.2 站內人數變化 = 進 − 出：Continuity Equation

本篇重用M0.1閘門的進出：Divergence 與通量·M2.1從一片葉子到一群葉子：Flow Map 與 Pushforward·M0.3漂流的溫度計：全導數、微分穿過積分與 JVP

捷運站，再看一次

M0.1 用捷運站問過一個問題：每個閘門的進出人數都知道，站內人數是在增加還是減少？答案是把所有閘門的淨流量加起來，這個總和就是 divergence 的積分。

現在把問題推遠一步。站內不是一個點，是一整片大廳：有人往月台走、有人往出口走、有人在售票機前停下來。假設你有一張「人流地圖」——大廳每個位置、每個時刻，人往哪個方向走、走多快。你也知道此刻大廳裡人群的分佈：哪裡擠、哪裡空。十分鐘後，人群的分佈會變成什麼樣？

直覺的答案通常是「每個人順著人流地圖走，所以分佈就是被搬過去」——這正是上一篇（M2.1）的 pushforward。它是對的，但要用它就得先算出每個起點的終點 $\Phi_t$ 。這一篇問一個不同的問題：能不能不追任何一個人，直接寫下「分佈本身」隨時間變化的規則？請先寫下你覺得可不可以、依據是什麼。

課堂提問Q1

把「站內人數變化 = 進 − 出」這句話，從整個車站縮小到大廳裡一塊 $1\text{ m}\times1\text{ m}$ 的地磚上。這塊地磚上的人數怎麼變？「進」與「出」由哪些量決定？

先想一想，再展開看整理後的答案

最直覺的想法是「看有多少人踩進來、多少人踩出去」，接著就能推得很順：

地磚上的人數 $\approx p(x,t)\cdot(1\text{ m}^2)$ ， $p$ 是人群的密度（每平方公尺幾個人）。人怎麼進出？沿著地磚的四條邊。看左邊那條邊：邊上的人以速度 $u(x,t)$ 走，所以每秒穿過這條邊的人數是「密度 × 速度的垂直分量 × 邊長」——這個量叫 flux（單位時間穿過單位邊長的質量），寫成 $p\,u$ 。

進 − 出就是四條邊的 flux 的淨和。 左邊進、右邊出：淨流入是 $(pu_1)|_{\text{左}}-(pu_1)|_{\text{右}}$ ；上下同理。地磚很小時，「右邊的值減左邊的值」就是 $\partial_x(pu_1)\cdot\Delta x$ ，所以淨流入 $=-\big[\partial_x(pu_1)+\partial_y(pu_2)\big]\cdot\text{面積}=-\nabla\cdot(pu)\cdot\text{面積}$ 。

這就把 M0.1 的結論搬到了每一塊地磚上：地磚上人數的變化率，等於 flux $pu$ 的 divergence 取負號。 這裡的隨機變數是「隨機抓一個人，他在哪」，我們想知道的量是它的密度 $p(x,t)$ 隨時間的變化。

先看畫面：每塊地磚都在記帳

把大廳鋪滿地磚，每塊地磚上站一個記帳員。他不需要知道任何人從哪來、要去哪；他只盯著自己四條邊，數每秒有幾個人跨進來、幾個人跨出去，然後更新自己這塊的人數。

一千個記帳員各自記帳，加起來就是整個分佈的演化。沒有任何一個記帳員追蹤過任何一個人。這就是 continuity equation 的視角：從「每個人走到哪」（Lagrangian，追粒子）換成「每個位置有多少」（Eulerian，守著格子）。兩種視角描述的是同一件事——上一篇的 flow map 是追粒子，這一篇是守格子。

示意圖 · 規劃中地磚記帳員：一格的進出

檔名：m2-deterministic-dynamics/imgs/m2-2-1.svg，16:9。
版面：左格放大畫一塊方形地磚 $[x,x+\Delta x]\times[y,y+\Delta y]$ ，四條邊各畫一支穿過邊的箭頭，箭頭旁標 flux：左邊 $(pu_1)(x)$ 向內、右邊 $(pu_1)(x+\Delta x)$ 向外、上下同理；地磚中央寫「人數 $=p\,\Delta x\Delta y$ 」；下方一行「變化率 $=$ 進 $-$ 出 $= -[\partial_x(pu_1)+\partial_y(pu_2)]\,\Delta x\Delta y$ 」。
右格：整片大廳鋪成 $8\times5$ 地磚，每塊地磚顏色深淺代表 $p$ ，疊上人流 vector field 的短箭頭；三塊地磚被框出來，各附一個小標籤「 $+$ 」「 $-$ 」「 $0$ 」表示該處 $-\nabla\cdot(pu)$ 的正負（人數在增加、減少、不變）。
圖說：「每塊地磚的人數變化只由四條邊的 flux 決定。不追任何一個人，只在每個位置記帳，就能寫出整個分佈的演化。」

寫成數學：一個方塊，十行推導

設 $p(x,t)$ 是密度， $u(x,t)$ 是 vector field（M2.0），flux 是 $J=p\,u$ 。取一個固定的小區域 $B$ （不隨時間動），裡面的質量是 $\int_B p\,dx$ 。假設質量守恆——沒有人憑空出現或消失——那麼質量變化只能來自穿過邊界 $\partial B$ 的 flux：

\frac{d}{dt}\int_B p\,dx\;=\;-\oint_{\partial B} p\,u\cdot n\,dS\;=\;-\int_B \nabla\cdot(pu)\,dx .

第一個等號是守恆（ $n$ 是向外的法向量，向外流為正，所以取負號）；第二個等號是 M0.1 的 Gauss 定理。左邊因為 $B$ 不動，微分可以穿過積分（M0.3），變成 $\int_B\partial_t p\,dx$ 。於是對任何小區域 $B$ 都有

\int_B\Big[\partial_t p+\nabla\cdot(pu)\Big]dx=0 .

一個 continuous 的函數若在每個小區域上積分都是零，它本身必為零。所以

\boxed{\;\partial_t p+\nabla\cdot(p\,u)=0\;}

這就是 continuity equation。讀法：密度的變化率 $=-$ flux 的 divergence；flux 往外散的地方密度下降，往內收的地方密度上升。 $\square$

它是一條 PDE（partial differential equation：同時對 $t$ 與 $x$ 微分）。要用它，給定 $p_0$ 與 $u$ ，就能往前解出所有 $p_t$ ——不需要 flow map。

和 pushforward 的關係。 若 $u$ 是 Lipschitz 的，這條 PDE 的解就是 $(\Phi_t)_\#p_0$ （[3] 第 8 章）。兩種寫法、同一個 $p_t$ 。可以在一維例子上直接驗證：M2.1 算過 $\dot x=-x$ 、 $p_0=\mathcal N(0,1)$ 給出 $p_t=\mathcal N(0,e^{-2t})$ ，把它代進 $\partial_t p+\partial_x(-x\,p)$ ，兩項恰好相消（推導放在展開框）。

展開細節一維代入驗證：p_t = N(0, σ²)，σ² = e^(−2t)，u = −x

記 p = (2πσ²)^(−1/2) exp(−x²/(2σ²))。先算對 x 的導數：∂ₓp = −(x/σ²)p，所以 ∂ₓ(u p) = ∂ₓ(−x p) = −p − x·∂ₓp = −p + (x²/σ²) p。再算對 t 的導數。log p = −½ log(2πσ²) − x²/(2σ²)，對 t 微分得 ∂ₜ log p = −½·(σ²)′/σ² + (x²/2)·(σ²)′/σ⁴。代入 (σ²)′ = −2σ²：第一項是 1，第二項是 −x²/σ²，所以 ∂ₜ log p = 1 − x²/σ²，即 ∂ₜp = (1 − x²/σ²) p。相加：∂ₜp + ∂ₓ(up) = (1 − x²/σ²)p + (−1 + x²/σ²)p = 0 ✓。

順帶一提，把 continuity equation 沿著一片葉子的軌跡展開（用全導數 d/dt p(x(t),t) = ∂ₜp + u·∇p，並注意 ∇·(pu) = u·∇p + p∇·u），會得到 d/dt log p(x(t),t) = −∇·u(x(t),t)：跟著葉子走，密度的對數變化率就是 divergence 取負。這是 change of variables 裡 log|det ∇Φ_t| 的微分版本。

回到大廳：直覺對了，但它給的比你想的多

回到起點問題。「分佈被搬過去」是對的，而 continuity equation 告訴我們不追人也能算——只要 $u$ 已知， $p_t$ 由一條 PDE 決定。它依賴的假設就兩個：質量守恆（人不會憑空消失；出口要另外當成「吸走質量」的邊界條件處理）、 $u$ 夠 smooth（否則 divergence 沒定義，要退回集合版的 pushforward）。

但這條方程式還說了一件直覺說不出的事。給定一條分佈的路徑 $p_t$ ，產生它的 $u$ 不唯一。設 $u$ 滿足方程式，再任取一個 vector field $w$ 使 $\nabla\cdot(p\,w)=0$ ，那麼 $u+w$ 也滿足：

\partial_t p+\nabla\cdot\big(p(u+w)\big)=\underbrace{\partial_t p+\nabla\cdot(pu)}_{=0}+\underbrace{\nabla\cdot(pw)}_{=0}=0 .

這樣的 $w$ 有無限多個——例如任何讓 $p$ 沿著等高線打轉的場（M2.1 最後一題的旋轉場就是一個）。人怎麼走，與人群的分佈怎麼變，是兩件不同的事：分佈只看得到淨流量，看不到人在同一密度的地方互換位置。反過來說，若你只關心 $p_t$ ，就有很大的自由去挑一個對你方便的 $u$ 。

回到大廳：算一次，再弄壞一次

一維版本 $\partial_t p+\partial_x(pu)=0$ 可以用幾行程式往前解（有限差分，upwind 格式）。用 $u=-x$ 、 $p_0=\mathcal N(0,1)$ 對答案：

import numpy as np
x = np.linspace(-4, 4, 801); dx = x[1]-x[0]; dt = 0.002
p = np.exp(-x**2/2)/np.sqrt(2*np.pi); u = -x
for _ in range(int(1.0/dt)):            # 解到 t = 1
    J = p*u                              # flux
    dJ = np.where(u > 0, np.diff(J, prepend=J[0]),
                          np.diff(J, append=J[-1])) / dx   # upwind 差分
    p = p - dt*dJ
s2 = np.exp(-2.0)                        # 理論：N(0, e^{-2t})
print(np.abs(p - np.exp(-x**2/(2*s2))/np.sqrt(2*np.pi*s2)).max())

數值解與理論的 $\mathcal N(0,e^{-2})$ 對得上（差距隨 $\Delta x$ 、 $\Delta t$ 縮小）。接著故意違反假設：把 $u$ 換成在 $x=0$ 跳躍的 $\mathrm{sign}(x)$ （人流在中央分兩邊走）。divergence 在 $x=0$ 沒定義，方程式在那裡不成立；數值解會在中央挖出一個越來越深的洞，而兩側各自被搬走——質量仍守恆，但「 $p$ 是 smooth 密度」這件事壞了。

互動 demo · 規劃中 Continuity equation：不追人，直接演化分佈

位置：本節之後。這是本 class 的核心互動。檔名：m2-deterministic-dynamics/m2-2-1.html。
版面：左右兩格。左格「追粒子」：2D 俯視的大廳， $N=2000$ 個點從 $p_0$ 抽出，隨時間滑桿被 $u$ 搬走，並疊上其 KDE 的等高線（虛線）。右格「守格子」：同一個 $p_0$ 在 $80\times80$ 格上用 continuity equation 往前解，畫成 heatmap 加等高線（實線）。兩格共用時間滑桿 $t\in[0,10]$ 。
控制項：下拉選單「人流地圖 $u$ 」：(a) 收攏場 $u=-x$ 、(b) 往出口的平移場、(c) 旋轉場 $(-y,x)$ 、(d) 有跳躍的分流場 $u=(\mathrm{sign}(x),0)$ 。滑桿 $N$ 。開關「疊上左格等高線到右格」：兩組等高線重合，讀者看到追粒子與守格子給的是同一個 $p_t$ 。
加一個 $w$ ：滑桿 $\lambda\in[-2,2]$ ，把 $u$ 換成 $u+\lambda w$ ， $w$ 是沿著當前等高線打轉的場：取 $w=(-\partial_y\psi,\;\partial_x\psi)$ ， $\psi=\psi(p)$ 是 $p$ 的任一函數，則 $\nabla\cdot(pw)=\psi'(p)\,\nabla p\cdot(-\partial_yp,\partial_xp)=0$ 自動成立。拖動 $\lambda$ ：左格的粒子明顯繞圈、軌跡完全不同，右格的 heatmap 一動不動。畫面上方一行大字「同一個 $p_t$ ，不同的 $u$ 」。
Hover 右格任一格：顯示該格的 $p$ 、 $\nabla\cdot(pu)$ ，並在格子四邊畫出四支 flux 箭頭與數值（進 − 出）。
違反假設：選 (d) 時，右格中央一條線亮起警示「 $\nabla\cdot u$ 在此無定義」，heatmap 在中線挖洞；同時顯示總質量 $\int p$ 的數值仍為 1。
底部觀察句：「觀察：分佈的演化只需要每個位置的淨流量。追粒子與守格子算出同一個 $p_t$ ；但加一個繞等高線打轉的 $w$ ，粒子的路完全變了、分佈卻不變——密度看不見同密度處的互換。」
匯出 PNG：兩格併成 16:9，含當前 $t$ 、 $u$ 的名字與 $\lambda$ 。

先消化一下

想一想

一條高速公路上每個位置的車速 $u(x,t)$ 都由感測器測到，且此刻每公里有幾輛車 $p(x,0)$ 也知道。要預測一小時後哪裡塞車，最直接的工具是：

想一想

大廳裡有一個出口，人走到那裡就離開車站。若你直接套 $\partial_t p+\nabla\cdot(pu)=0$ 而不做任何修改，會發生什麼？

參考文獻

Evans, L. C. Partial Differential Equations. AMS Graduate Studies in Mathematics 19, 2nd ed., 2010.（第 3 章：一階 PDE 與守恆律的基本理論。）
Villani, C. Topics in Optimal Transportation. AMS Graduate Studies in Mathematics 58, 2003.（第 8 章：continuity equation 與 Benamou–Brenier 公式；pushforward 與 continuity equation 的等價在此脈絡下使用。）
Ambrosio, L., Gigli, N., Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Birkhäuser, 2nd ed., 2008.（第 8 章：continuity equation 的解與 flow map 的 pushforward 相同（superposition principle）。）