M2.0 河面上的箭頭：Vector Field 與 ODE

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M0.0霧中下山：Gradient 與方向

一條河與一片葉子

你站在橋上往下看。靠岸的水流慢，中間快；過了橋墩以後往左彎，再往前又擺回來。假設有一張「水流地圖」，告訴我們接下來一分鐘裡，每個位置、每個時刻的水往哪裡流、流多快。只有此刻的一張照片還不夠，因為後來的水流可能改變。

現在你把一片葉子輕輕放在腳下的水面上。一分鐘後，它會在哪裡？

最自然的想法是順著箭頭走：到了新位置，再看那裡的箭頭。不過，這條規則真的會決定一條路嗎？ 如果在同一位置、同一時刻放兩片葉子，它們會走出相同的軌跡嗎？先把「順著箭頭」寫清楚，才有辦法檢查。

課堂提問Q1

把這個情境翻成數學問題。「水流地圖」是什麼樣的數學物件？「葉子的位置」是什麼？「順著箭頭走」要怎麼寫成一條式子？

先想一想，再展開看整理後的答案

最直覺的說法是「地圖是一堆箭頭」，這已經抓到了一半。往下把它寫精確：

水流地圖是一個函數。 河面上每個位置 $x\in\mathbb R^2$ ，在時刻 $t$ ，對應一支箭頭 $v(x,t)\in\mathbb R^2$ ——方向是水流方向，長度是流速。這樣「把位置對到向量」的函數叫做 vector field（每點一支箭頭的場）。如果水流不隨時間改變，就寫 $v(x)$ ，叫 autonomous（不依賴時間）。

葉子的位置是一條隨時間變化的曲線 $x(t)\in\mathbb R^2$ ， $x(0)$ 是你放葉子的地方。

「順著箭頭走」是說：葉子此刻的速度，等於它所在位置的水流。 速度是位置對時間的導數，所以

\dot x(t)=v\big(x(t),t\big),\qquad x(0)=x_0 .

這就是一條 ODE（ordinary differential equation：只對一個變數 $t$ 微分的方程式）加上一個初始條件。我們想知道的量是 $x(60)$ ——一分鐘後的位置。注意這裡沒有隨機變數：水流地圖給定、起點給定，葉子的路徑是被決定的。這是這個 class 叫 deterministic 的原因；有亂流的河留給下一個 class。

一張地圖，一條路

想像水流地圖是一張畫滿短箭頭的紙，葉子是一支筆尖。筆尖落在某一點，就沿著那點的箭頭滑一小段，到了新位置再看新位置的箭頭，再滑一小段。把「一小段」縮到無限小，筆畫出來的線就是葉子的軌跡。

軌跡的切線應該等於當地的速度箭頭。但「每一點只有一支箭頭」還不足以保證解唯一，連續也不夠；我們需要限制相鄰位置的箭頭能差多少。

水流 vector field 與兩片葉子的 ODE 軌跡。

圖：軌跡的切線處處等於當地向量；Lipschitz 場中，同一起點只有一條路。

存在、唯一、不交叉

定義。 一個 vector field 是函數 $v:\mathbb R^d\times[0,T]\to\mathbb R^d$ 。給定 $x_0$ ，ODE 初值問題是找一條可微曲線 $x(t)$ 滿足 $\dot x(t)=v(x(t),t)$ 且 $x(0)=x_0$ 。這樣的 $x(\cdot)$ 叫這個初值問題的解，也叫從 $x_0$ 出發的 trajectory（軌跡）。

定理（Picard–Lindelöf，只講結論）。 如果 $v$ 對 $t$ 是 continuous 的，並且對 $x$ 是 Lipschitz 的——存在常數 $L$ 使得對所有 $x,y,t$ 都有 $\|v(x,t)-v(y,t)\|\le L\|x-y\|$ （相鄰兩點的箭頭差，不超過距離的 $L$ 倍）——那麼對每個 $x_0$ ，解存在且唯一，至少在一小段時間內；若 $v$ 的成長不超過線性，解可以延伸到整段 $[0,T]$ 。

Lipschitz 的意思是：input 離得越近，output 也不會突然差太多。 Jacobian 有界的場滿足這個條件。把 ODE 改寫成 $x(t)=x_0+\int_0^t v(x(s),s)\,ds$ ，右邊就成了「由一條猜測曲線產生另一條曲線」的操作。在長度為 $h$ 、且 $hL<1$ 的短區間上，兩條曲線的最大差距每次至多乘上 $hL$ ，因此反覆操作會收斂到唯一的解。這是 Picard–Lindelöf 定理的證明思路 [1–3]。

推論（軌跡不交叉）。 設 $x(\cdot)$ 、 $y(\cdot)$ 都是同一個 ODE 的解。若存在某時刻 $s$ 使 $x(s)=y(s)$ ，則 $x(t)=y(t)$ 對所有 $t$ 成立。

證明只要三行：把 $s$ 當成新的起始時刻， $x$ 與 $y$ 都是「從 $x(s)$ 出發」這個初值問題的解；唯一性說這樣的解只有一條；所以它們是同一條。(往前與往後都成立，因為把時間反向 $t\mapsto -t$ 之後 $-v$ 仍然 Lipschitz。) $\square$

「不交叉」指的是兩條不同的解不能在同一個 $(x,t)$ 相遇後再分開。它們仍可能在不同時刻經過同一位置。對 autonomous 的場，這種相遇表示它們走的是同一條空間路線，只是時間進度不同；不能說兩個不同起點畫出的線一定沒有共同部分。

展開細節唯一性失效的例子：ẋ = x^(1/3)，x(0) = 0

這個場在原點不是 Lipschitz 的：x^(1/3) 的斜率在 0 附近趨近無限大。結果從 x(0)=0 出發至少有兩條解：x(t) ≡ 0，以及 x(t) = (2t/3)^(3/2)。直接代入驗證第二條：d/dt (2t/3)^(3/2) = (3/2)(2t/3)^(1/2)·(2/3) = (2t/3)^(1/2) = x^(1/3)。事實上還有無限多條：先在 0 停留任意久、再開始沿第二條走，也都是解。這就是「同一個位置放兩片葉子卻漂去不同地方」的數學版本。

另一個常見的失效是「解在有限時間內跑到無限遠」：ẋ = x²，x(0)=x₀>0 的解是 x(t) = 1/(1/x₀ − t)，在 t = 1/x₀ 時爆掉。這裡 Lipschitz 只在每個有界區域內成立（局部 Lipschitz），所以只保證短時間內的存在唯一。

直覺對了，但要說出條件

在存在唯一的條件下，起點與水流地圖會決定 $x(60)$ 。電腦算出的折線則只是近似；還要使用一致、穩定的 numerical method，才能在步長縮小時逼近這條解。

也要分清楚兩件事： $L$ 很大仍然可以保證唯一，只是相近起點的差距可能有較大的傳播上界；不滿足 Lipschitz 則是這個定理不能使用，並不自動表示解不唯一。下面的例子才具體展示了非唯一解。

動手放葉子

用電腦「順著箭頭走」最簡單的做法，就是把上面「滑一小段」的畫面直接寫成程式：每隔 $h$ 秒看一次箭頭，往那個方向走 $h\cdot v$ 。

import numpy as np
def u(x, t):                     # 水流地圖：往右流，上下擺動
    return np.array([1.0, 0.5*np.cos(x[0])])
def drift(x0, T=60.0, h=0.1):
    x, t = np.array(x0, float), 0.0
    while t < T - 1e-12:
        x = x + h*u(x, t); t += h
    return x
print(drift([0.0, 0.0]))          # 應接近 (60, 0.5*sin 60)

這個場有 closed form 解 $x(t)=t$ 、 $y(t)=0.5\sin t$ （自己代入檢查： $\dot y=0.5\cos t=0.5\cos x$ ），所以可以對答案。 $h$ 縮小十倍，數值解與 closed form 解的差距也大約縮小十倍——這個「差距怎麼隨 $h$ 縮小」的規律，本 class 後面兩篇會精確算出來。

檢查理解

想一想

假設接下來一分鐘的風場完全已知、滿足存在唯一的條件，氣球也完全隨風飄。下面哪個描述最貼切？

想一想

某條河的水流地圖是 $v(x)=(1,\,\mathrm{sign}(y)\sqrt{|y|})$ 。你在中線 $y=0$ 上放兩片葉子。下面哪個說法對？

參考文獻

Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Westview Press, 2nd ed., 2015.（第 2、6 章：一維與二維 vector field 的幾何直覺，存在唯一定理的結論式陳述。）
Hirsch, M. W., Smale, S., Devaney, R. L. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, 3rd ed., 2013.（第 7 章：Picard–Lindelöf 的完整證明。）
Hairer, E., Nørsett, S. P., Wanner, G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Springer, 2nd ed., 1993.（第 I 章：存在唯一定理與數值方法的共同起點。）