M0.1 閘門的進出：Divergence 與通量

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M0.0霧中下山：Gradient 與方向

看不見站內

你負責一座捷運站的人流。站內沒有攝影機，你手上只有每個閘門的計數器：每分鐘各有多少人刷卡進、多少人刷卡出。四個閘門的讀數擺在你面前。

問題：現在站內的人是在變多還是變少？每分鐘變多少？

最直接的方法是把所有「進」加起來，再減掉所有「出」。但這個方法有一個前提：我們得把能進出的地方都算到。若列車帶走的人沒有被記錄，只看閘門就可能判斷錯。

那麼，怎麼把「穿過邊界的量」寫下來，再把它縮到一個小區域，判斷局部的增減？

課堂提問Q1

把情境翻成數學：這裡的「區域」是什麼？「邊界」是什麼？我們手上量到的是哪種量？我們想知道的又是哪種量？

先想一想，再展開看整理後的答案

最直覺的答案會直接跳到「進減出」，跳過了三個該說清楚的物件。

區域 $\Omega$ ：站內的範圍，一個平面上的區域。我們想知道的是它裡面的總量 $N(t)$ ——站內人數隨時間的變化率 $dN/dt$ 。

邊界 $\partial\Omega$ ：站內與站外的分界線。閘門是邊界上開了口的幾段；其餘的邊界是牆，沒有人穿過。

量到的東西：每個閘門的計數器給的是「每分鐘穿過這一段邊界的淨人數」——一個穿過邊界的流量，方向有正負（出為正、進為負，或反過來，先講好）。

於是問題變成：知道邊界上每一段的穿越流量，能不能推出內部總量的變化率？ 翻譯到這裡就看到了關鍵：這需要一個把「邊界上的穿越」與「內部的增減」連起來的定律。連起來的橋是守恆——人不會在站內憑空出現或消失。這一句話就是整個算法的地基。

一個灑水器和一個排水口

先看一張箭頭圖。不過，我們要計算的是人數，不只是速度：同樣走得很快的地方，人多與人少時，每秒通過的量不同。以下把「密度乘上速度」記成流量場 $j=\rho v$ ，其中 $\rho$ 是人數密度、 $v$ 是速度；箭頭的長度表示通過的量，而不只是走多快。

在灑水器四周，箭頭一律向外指：任何一個圈住灑水器的小圈，流出去的比流進來的多——這裡是一個源。在排水口四周，箭頭一律向內：圈住它的任何小圈都是淨流入——這裡是一個匯。在一條平直的走廊裡，箭頭全部同向、等長：一個小圈左邊進多少、右邊就出多少，淨流量是零。

「圈一個小圈，數淨流出多少」這個動作，對平面上每一點都可以做。做出來的數字有正有負：正的地方在「吐出」、負的地方在「吸入」、零的地方只是「經過」。這個逐點的數字就是 divergence。

源、匯、穿流三種向量場，以及各自小圈的淨流出。

圖：紅色 source 的 divergence 為正；藍色 sink 的 divergence 為負；均勻穿流為零。

把小圈寫成數學

流量場與 flux。 在二維裡， $\rho$ 的單位是人數／面積， $v$ 是距離／時間，因此 $j=\rho v$ 是人數／長度／時間。邊界的一小段長 $ds$ ，向外的單位法向量是 $n$ ，每單位時間淨流出的人數就是 $j\cdot n\,ds$ ：只有垂直於邊界的分量會穿過。整條邊界加起來：

\Phi(\Omega)=\oint_{\partial\Omega}j\cdot n\,ds ,

叫 $\Omega$ 的 flux（通量）——向外為正。守恆這句話寫成式子就是

\frac{dN}{dt}=-\,\Phi(\Omega):

裡面的總量增加多少，就是邊界上淨流進多少。這一行沒有任何近似，但它有一個前提： $N$ 的變化只能來自穿過邊界，內部沒有源與匯。

Divergence。 把區域縮成以 $(x,y)$ 為中心的小長方形。先只算水平方向：右邊的向右流量減去左邊的向右流量，是

\left[j_x\!\left(x+\frac{\Delta x}{2},y\right) -j_x\!\left(x-\frac{\Delta x}{2},y\right)\right]\Delta y.

除以面積 $\Delta x\Delta y$ ，括號裡就是對 $x$ 的差商。上下兩邊同樣得到對 $y$ 的差商；兩個方向加起來，再取極限：

\nabla\!\cdot j\;=\;\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y} \;=\;\lim_{|\Omega|\to0}\frac{\Phi(\Omega)}{|\Omega|}.

Divergence 把每一個方向的淨流出變化率加總起來。 對 $j$ 做 divergence，得到每單位面積的人數淨流出；對 $v$ 做 divergence，則描述速度場的局部擴張。算站內密度變化時，我們需要前者。

Gauss 定理（二維）。 把 $\Omega$ 切成很多小格子。每個小格子的 flux 約是 $(\nabla\cdot j)\times$ 面積。把所有格子加起來時，每一條內部格線被相鄰兩格各算一次、方向相反，剛好抵消，只剩最外圈的邊界。所以

\oint_{\partial\Omega}j\cdot n\,ds\;=\;\int_\Omega\nabla\!\cdot j\;dA .

對足夠平滑的流量場與邊界，左邊只看邊界、右邊逐點算內部，得到相同的量。這就是「內部格線抵消」的連續版本。

展開細節抵消為什麼是精確的、而不是近似（離散版本一行就看得出來）

在格網上，每條內部邊界的同一個流量 $F$ ，對一格是流出 $+F$ ，對鄰格就是流入 $-F$ 。全部格子相加，內部項抵消，只剩外側邊界。這個離散抵消是精確的；在足夠平滑的條件下，取極限得到每格淨流出由 $(\nabla\cdot j)\Delta x\Delta y$ 描述的連續版本。

直覺對了，但要說出它靠什麼

結論。 「進減出」正確，因為它就是 $dN/dt=-\Phi(\Omega)$ ：站內人數的變化率等於邊界上的淨流入。這一行是恆等式，不是估計。

它依賴兩個假設。 第一，守恆：人不會在站內出現或消失——這在捷運站幾乎一定成立。第二，閘門就是全部的邊界：所有能穿過 $\partial\Omega$ 的地方都有計數器。這一條才是會出事的地方。站務員的員工門、緊急出口、還有月台邊的列車門——列車到站，一車人進了站內；列車開走，一車人離開。如果你的 $\Omega$ 是「整座站含月台」，列車門就是邊界的一部分，而閘門計數器沒有算它。「每分鐘淨進 40 人，月台卻空了」正是這種情形：40 人從閘門進來，一列車載走了更多人，而那條邊界你沒量。

Divergence 多給了什麼。 閘門版只回答整站的增減；知道各處的 density 與 velocity 後， $\nabla\cdot j=\nabla\cdot(\rho v)$ 才能逐點判斷密度如何變化。在沒有內部來源時，淨流出為正，這裡的密度就下降。Gauss 定理讓局部計算與邊界計數對照；對不上時，需要檢查漏算的通道、量測誤差或模型假設，不一定只有一種原因。

實際算一次

十行程式就能看到「內部相加＝邊界」是精確的，以及暗門造成的差額：

import numpy as np
n = 40; rho = np.full((n, n), 5.0)                 # 每格人數
Fx = 0.3 + 0.1*np.random.randn(n, n+1)             # 垂直格線上的向右流量
Fy = 0.1*np.random.randn(n+1, n)                   # 水平格線上的向下流量
inside = (slice(10, 30), slice(10, 30))            # 站內範圍 Ω
for leak in (0.0, 0.5):                            # 0.5 = 暗門每步帶走的人
    N0 = rho[inside].sum()
    div = (Fx[:, 1:] - Fx[:, :-1]) + (Fy[1:, :] - Fy[:-1, :])   # 每格淨流出
    rho_new = rho - div; rho_new[20, 20] -= leak
    flux_out = Fx[10:30, 30].sum() - Fx[10:30, 10].sum() + Fy[30, 10:30].sum() - Fy[10, 10:30].sum()
    print(f"實際變化 {rho_new[inside].sum()-N0:+.3f}   閘門推算 {-flux_out:+.3f}")

第一行兩個數字完全相同；第二行差 $0.5$ ——正是暗門的量。

檢查理解

參考文獻

Strang, G. Calculus. Wellesley-Cambridge Press；MIT OpenCourseWare RES.18-001 免費全文。（Green / divergence theorem 的章節。）
Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Ch. 3: Vector Integral Calculus.（用「小方塊的 flux」定義 divergence、以及 Gauss 定理的拼接論證。）
Marsden, J. E., Tromba, A. J. Vector Calculus. W. H. Freeman.（二維與三維 divergence theorem 的正式敘述與證明。）