M0.1 閘門的進出：Divergence 與通量

本篇重用M0.0霧中下山：Gradient 與方向

起點：看不見站內

你負責一座捷運站的人流。站內沒有攝影機，你手上只有每個閘門的計數器：每分鐘各有多少人刷卡進、多少人刷卡出。四個閘門的讀數擺在你面前。

問題：現在站內的人是在變多還是變少？每分鐘變多少？

直覺的答案幾乎是反射：把所有閘門的「進」加起來，減掉所有「出」，正的就是變多。寫下你有多確定。

大多數人會非常確定。這一次直覺是對的——但請試著回答兩個追問：這個算法依賴什麼才成立？如果有一天讀數告訴你「每分鐘淨進 40 人」，而站務員回報月台其實空了，哪裡出了問題？能回答這兩題，才算真的懂了這個算法。

課堂提問Q1

把情境翻成數學：這裡的「區域」是什麼？「邊界」是什麼？我們手上量到的是哪種量？我們想知道的又是哪種量？

先想一想，再展開看整理後的答案

最直覺的答案會直接跳到「進減出」，跳過了三個該說清楚的物件。

區域 $\Omega$ ：站內的範圍，一個平面上的區域。我們想知道的是它裡面的總量 $N(t)$ ——站內人數隨時間的變化率 $dN/dt$ 。

邊界 $\partial\Omega$ ：站內與站外的分界線。閘門是邊界上開了口的幾段；其餘的邊界是牆，沒有人穿過。

量到的東西：每個閘門的計數器給的是「每分鐘穿過這一段邊界的淨人數」——一個穿過邊界的流量，方向有正負（出為正、進為負，或反過來，先講好）。

於是問題變成：知道邊界上每一段的穿越流量，能不能推出內部總量的變化率？ 翻譯到這裡就看到了關鍵：這需要一個把「邊界上的穿越」與「內部的增減」連起來的定律。連起來的橋是守恆——人不會在站內憑空出現或消失。這一句話就是整個算法的地基。

一個灑水器和一個排水口

暫時放下閘門，看一張只有箭頭的圖。地面上每一點畫一支小箭頭，表示那裡的人（或水）往哪流、流多快。

在灑水器四周，箭頭一律向外指：任何一個圈住灑水器的小圈，流出去的比流進來的多——這裡是一個源。在排水口四周，箭頭一律向內：圈住它的任何小圈都是淨流入——這裡是一個匯。在一條平直的走廊裡，箭頭全部同向、等長：一個小圈左邊進多少、右邊就出多少，淨流量是零。

「圈一個小圈，數淨流出多少」這個動作，對平面上每一點都可以做。做出來的數字有正有負：正的地方在「吐出」、負的地方在「吸入」、零的地方只是「經過」。這個逐點的數字就是 divergence。

把小圈寫成數學

流量場與 flux。 記 $v(x,y)$ 為流量場：在 $(x,y)$ 這一點，每單位長度的邊界、每單位時間穿過的人數，方向是人流的方向。對區域 $\Omega$ ，邊界上每一小段長 $ds$ 、向外的單位法向量 $n$ ，穿過它向外的人數是 $v\cdot n\,ds$ （只有垂直於邊界的分量會穿過）。整條邊界加起來：

\Phi(\Omega)=\oint_{\partial\Omega}v\cdot n\,ds ,

叫 $\Omega$ 的 flux（通量）——向外為正。守恆這句話寫成式子就是

\frac{dN}{dt}=-\,\Phi(\Omega):

裡面的總量增加多少，就是邊界上淨流進多少。這一行沒有任何近似，但它有一個前提： $N$ 的變化只能來自穿過邊界，內部沒有源與匯。

Divergence。 現在把 $\Omega$ 縮成一個以 $(x,y)$ 為中心、邊長 $\Delta x\times\Delta y$ 的小長方形。四條邊的 flux：右邊流出 $v_x(x+\tfrac{\Delta x}2,y)\Delta y$ ，左邊流入 $v_x(x-\tfrac{\Delta x}2,y)\Delta y$ ，兩者相減約是 $\dfrac{\partial v_x}{\partial x}\Delta x\Delta y$ ；上下同理給 $\dfrac{\partial v_y}{\partial y}\Delta x\Delta y$ 。除以面積、取極限：

\nabla\!\cdot v\;=\;\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y} \;=\;\lim_{|\Omega|\to0}\frac{\Phi(\Omega)}{|\Omega|}.

divergence 就是每單位面積的淨流出。 符號 $\nabla\cdot$ 是刻意的：把 M0.0 的 $\nabla=(\partial_x,\partial_y)$ 與 $v$ 做內積，形式上就是這個和。

Gauss 定理（二維）。 把 $\Omega$ 切成很多小格子。每個小格子的 flux 約是 $(\nabla\cdot v)\times$ 面積。把所有格子加起來時，每一條內部的格線被相鄰兩格各算一次、方向相反，剛好抵消，只剩最外圈的邊界。所以

\oint_{\partial\Omega}v\cdot n\,ds\;=\;\int_\Omega\nabla\!\cdot v\;dA .

左邊只看邊界，右邊只看內部，兩者永遠相等。這就是「內部格線抵消」這一句話的正式版本。

展開細節抵消為什麼是精確的、而不是近似（離散版本一行就看得出來）

在一個 $n\times n$ 的格網上，把每條格線上的流量記成數字 $F$ 。「格子 $(i,j)$ 的淨流出」定義為它四條邊的 $F$ 帶正負號相加。把所有格子的淨流出相加，每條內部格線出現兩次：對左邊那格是流出（ $+F$ ），對右邊那格是流入（ $-F$ ），和為零。剩下的只有最外圈——這是一個 telescoping sum，沒有任何近似。連續版本的 Gauss 定理就是這個離散事實取極限，divergence 的定義正好讓「每格淨流出 $\approx(\nabla\cdot v)\,\Delta x\Delta y$ 」在極限下成為等式。

回到情境：直覺對了，但要說出它靠什麼

結論。 「進減出」正確，因為它就是 $dN/dt=-\Phi(\Omega)$ ：站內人數的變化率等於邊界上的淨流入。這一行是恆等式，不是估計。

它依賴兩個假設。 第一，守恆：人不會在站內出現或消失——這在捷運站幾乎一定成立。第二，閘門就是全部的邊界：所有能穿過 $\partial\Omega$ 的地方都有計數器。這一條才是會出事的地方。站務員的員工門、緊急出口、還有月台邊的列車門——列車到站，一車人進了站內；列車開走，一車人離開。如果你的 $\Omega$ 是「整座站含月台」，列車門就是邊界的一部分，而閘門計數器沒有算它。「每分鐘淨進 40 人，月台卻空了」正是這種情形：40 人從閘門進來，一列車載走了更多人，而那條邊界你沒量。

Divergence 多給了什麼。 閘門版只回答「整站」的增減。若你有站內各處的人流方向與速度（例如手機定位的匿名統計）， $\nabla\cdot v$ 能逐點告訴你哪裡在累積（ $\nabla\cdot v<0$ ，淨流入）、哪裡在疏散（ $\nabla\cdot v>0$ ）；而 Gauss 定理保證：把整站的 $\nabla\cdot v$ 積分起來，一定等於閘門加列車門的總 flux——兩種算法可以互相對帳。對不上，就表示有一道門沒被算進去。

回到情境：實際算一次

互動 demo · 規劃中閘門對帳：邊界 flux vs 內部 divergence，開一道暗門看差多少

位置：本節。檔名：site/public/notes/research_areas/mathematical-foundations/m0-calculus-toolkit/m0-1-2.html。這是本篇的核心互動。
版面：左格是站內平面圖（ $40\times40$ 格網，格子顏色深淺＝該格人數，上面疊一層稀疏的流量箭頭），四邊各開一道閘門（邊界上的一段）；右格是兩條隨時間走的曲線：「閘門淨流入的累積」與「站內實際總人數的變化」。
控制項：四個滑桿分別是四道閘門的淨流量（人／分鐘，可正可負）；按鈕「走一分鐘」「走十分鐘」「重置」。開關「顯示 divergence 熱圖」：把每格的 $\nabla\cdot v$ 畫成藍（吸入）到紅（吐出）。開關「暗門」：在站內某一格加一個固定的匯（每分鐘帶走 $k$ 人， $k$ 可調），畫面上不畫任何箭頭——模擬沒被計數的出口。開關「列車門」：在月台邊那段邊界加一個週期性的大流量（每三分鐘一列車，一次帶走 60 人），計數器不把它算進去。
每一分鐘的行為：格網用離散守恆更新（每格人數 $-=$ 四條邊的淨流出）；右格同步畫「閘門對帳」與「實際」兩條線。兩者重合時顯示綠色「對帳成功」，分岔時顯示紅色並標出差額；差額的數值應恰等於暗門的 $k$ （或列車帶走的人數）。Hover 任一格顯示該格的 $\nabla\cdot v$ 與「這一格這一分鐘淨變化」。
預期看到的事：沒有暗門時兩條線完全重合（Gauss 定理是精確的，不是近似）。開暗門後，「閘門對帳」持續高估站內人數，差距線性成長、斜率＝ $k$ 。開列車門後差距呈階梯狀。開 divergence 熱圖時，暗門那格是一個明顯的紅點（局部有匯），其他地方接近零——divergence 能指出暗門在哪，閘門總數不能。
底部觀察句：「觀察：邊界 flux 與內部 divergence 的積分永遠相等——只要邊界沒有漏掉的門、內部沒有源與匯。對不上帳的時候，divergence 熱圖告訴你漏在哪裡。」
匯出 PNG：兩格併成 16:9，含當前開關狀態。

十行程式就能看到「內部相加＝邊界」是精確的，以及暗門造成的差額：

import numpy as np
n = 40; rho = np.full((n, n), 5.0)                 # 每格人數
Fx = 0.3 + 0.1*np.random.randn(n, n+1)             # 垂直格線上的向右流量
Fy = 0.1*np.random.randn(n+1, n)                   # 水平格線上的向下流量
inside = (slice(10, 30), slice(10, 30))            # 站內範圍 Ω
for leak in (0.0, 0.5):                            # 0.5 = 暗門每步帶走的人
    N0 = rho[inside].sum()
    div = (Fx[:, 1:] - Fx[:, :-1]) + (Fy[1:, :] - Fy[:-1, :])   # 每格淨流出
    rho_new = rho - div; rho_new[20, 20] -= leak
    flux_out = Fx[10:30, 30].sum() - Fx[10:30, 10].sum() + Fy[30, 10:30].sum() - Fy[10, 10:30].sum()
    print(f"實際變化 {rho_new[inside].sum()-N0:+.3f}   閘門推算 {-flux_out:+.3f}")

第一行兩個數字完全相同；第二行差 $0.5$ ——正是暗門的量。

先消化一下

參考文獻

Strang, G. Calculus. Wellesley-Cambridge Press；MIT OpenCourseWare RES.18-001 免費全文。（Green / divergence theorem 的章節。）
Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Ch. 3: Vector Integral Calculus.（用「小方塊的 flux」定義 divergence、以及 Gauss 定理的拼接論證。）
Marsden, J. E., Tromba, A. J. Vector Calculus. W. H. Freeman.（二維與三維 divergence theorem 的正式敘述與證明。）