M2.3 導航每 30 秒更新一次：Euler 法與它的誤差

本篇重用M0.2導航的三十秒：Taylor 展開與「假設直線」·M2.0河面上的箭頭：Vector Field 與 ODE

一條彎路，一台省電的導航

你的車以時速 60 公里在一條大彎道上行駛：彎道是四分之一圓，半徑 2 公里。導航為了省電，每 30 秒才讀一次車子的行進方向；在兩次讀取之間，它假設你一直沿著上次讀到的方向直走，把位置往前推 30 秒的距離。

走完這個四分之一圓（約 3.1 公里、三分多鐘），導航上的位置和你真正的位置會差多遠？如果換成一條筆直的路呢？

先用直覺回答，並寫下你有多確定、依據是什麼。常見的直覺是「直路完全不會錯；彎路會偏一點，大概幾十公尺吧」。第一句對。第二句對不對——以及「幾十公尺」是怎麼估出來的——直覺說不出來。而且有一個更重要的問題直覺回答不了：如果改成每 10 秒更新一次，誤差會縮成多少？三分之一？九分之一？

課堂提問Q1

翻成數學。「真正的位置」是哪個物件？「導航算出的位置」又是哪個？「每 30 秒直走一段」寫成式子是什麼？我們想知道的量是什麼？

先想一想，再展開看整理後的答案

這一題可以直接對上前一篇的語言：真正的位置是 ODE $\dot x=u(x,t)$ 的解 $x(t)$ ， $u$ 是「在位置 $x$ 時車的速度向量」——沿著路的方向、大小 $v=60\text{ km/h}\approx16.7\text{ m/s}$ （M2.0）。

導航算的是另一串東西。令 $h=30$ 秒， $t_n=nh$ 。導航記錄的位置 $x_n$ 由

x_{n+1}=x_n+h\,u(x_n,t_n)

一步一步算出來：在目前的位置看一次方向，往那個方向直走 $h$ 秒。這條規則叫 Euler 法，它就是 M2.0 結尾那段「順著箭頭走」的程式。

我們想知道的量是全域誤差 $e_N=\|x(t_N)-x_N\|$ ：走完全程（ $N=T/h$ 步）之後，真實位置與導航位置的距離。以及它怎麼隨 $h$ 變化。這裡沒有隨機變數；誤差完全來自「兩次讀取之間假設直走」。

先看畫面：切線離開了圓

把彎道畫成一段圓弧，車在圓弧上。Euler 的一步是沿著切線往前走 500 公尺（30 秒 × 16.7 m/s）。切線是直的、圓弧是彎的，走完這一步，導航的點落在圓的外側——這是一步的誤差，叫局部誤差。

下一步從那個已經偏外的點出發。它會犯同樣的錯（又沿切線離開），還會多一件事：它現在站在一個「真車從來沒去過」的位置，讀到的方向也不是真車此刻的方向。前面的錯誤會被帶著走，有時還會被放大。全程的誤差就是這兩件事的疊加：每步新犯的錯，加上舊錯被帶著走的方式。

直路上切線就是路本身，一步的誤差是零，帶著走的也是零。這就是「直路完全不會錯」的畫面版。

示意圖 · 規劃中沿切線走一步：局部誤差與它被帶著走

檔名：m2-deterministic-dynamics/imgs/m2-3-1.svg，16:9。
版面：左格一段半徑 $R$ 的圓弧（真實路徑），從弧上一點畫一段長 $h v$ 的切線（Euler 一步），切線終點與弧上真正的終點之間用雙箭頭標出「局部誤差 $\approx\tfrac{h^2}{2}\tfrac{v^2}{R}$ 」；並畫出 Taylor 的兩項：切線是一階項，弧與切線的差距畫成一段小小的拋物線標「二階項」。
中格：連續六步的 Euler 折線（每步 500 m）疊在四分之一圓弧上，折線像一個多邊形外接在圓上、逐步往外偏；每個頂點旁標當前偏離半徑的距離： $62,\;125,\;\dots,\;375$ m。
右格：同一條路改成直線，Euler 折線與路完全重合，標「 $\ddot x=0$ ，誤差 $=0$ 」。
圖說：「Euler 每步沿切線直走，離開彎路的量是 Taylor 二階項 $\tfrac{h^2}{2}\|\ddot x\|$ ；一步一步累積，還會被場的變化放大。直路上 $\ddot x=0$ ，一步都不錯。」

寫成數學：一步的錯、多步的累積

局部誤差。 假設第 $n$ 步從正確的位置 $x(t_n)$ 出發。真實的下一個位置用 Taylor 展開（M0.2）：

x(t_n+h)=x(t_n)+h\,\dot x(t_n)+\tfrac{h^2}{2}\,\ddot x(\xi_n),\qquad \xi_n\in[t_n,t_n+h].

Euler 給的是 $x(t_n)+h\,u(x(t_n),t_n)=x(t_n)+h\,\dot x(t_n)$ ——恰好是 Taylor 的前兩項。兩者相減：

\big\|x(t_n+h)-\big[x(t_n)+h\,u(x(t_n),t_n)\big]\big\|=\tfrac{h^2}{2}\,\|\ddot x(\xi_n)\|.

一步的誤差是 $h^2$ 的量級，係數是加速度 $\ddot x$ 。沿著解， $\ddot x=\tfrac{d}{dt}u(x(t),t)=\partial_t u+(\nabla u)\,u$ （M0.3）；對等速轉彎的車， $\|\ddot x\|=v^2/R$ 。

全域誤差。 記 $e_n=x(t_n)-x_n$ 。第 $n$ 步 Euler 不是從正確位置出發，而是從 $x_n$ ：

e_{n+1}=\underbrace{x(t_n)+h\,u(x(t_n),t_n)+\tfrac{h^2}{2}\ddot x(\xi_n)}_{x(t_{n+1})}-\underbrace{\big[x_n+h\,u(x_n,t_n)\big]}_{x_{n+1}} = e_n+h\big[u(x(t_n),t_n)-u(x_n,t_n)\big]+\tfrac{h^2}{2}\ddot x(\xi_n).

中括號裡是「在兩個相距 $\|e_n\|$ 的位置讀到的方向差」，Lipschitz 條件（M2.0）說它不超過 $L\|e_n\|$ 。所以

\|e_{n+1}\|\le(1+hL)\,\|e_n\|+\tfrac{h^2}{2}M_n,\qquad M_n=\max_{[t_n,t_{n+1}]}\|\ddot x\|.

這就是離散版 Grönwall 不等式的形狀：每步舊誤差乘上 $(1+hL)$ 、再加上新的局部誤差。從 $e_0=0$ 展開，用 $(1+hL)^k\le e^{khL}\le e^{LT}$ ：

\|e_N\|\;\le\;\sum_{n=0}^{N-1}(1+hL)^{N-1-n}\,\tfrac{h^2}{2}M_n \;\le\;e^{LT}\,\tfrac{h}{2}\sum_{n=0}^{N-1}h\,M_n \;\approx\;\boxed{\;\frac{h}{2}\,e^{LT}\int_0^T\|\ddot x(t)\|\,dt\;}

$\square$ （最後一步把黎曼和換成積分。）三個因子各有意思： $h$ ——步長縮一半、誤差縮一半，Euler 是一階方法； $\int\|\ddot x\|dt$ ——整條路的加速度總量，路越彎、轉得越急，誤差越大；直路是零。 $e^{LT}$ ——場對位置越敏感（ $L$ 越大），舊誤差被放大得越凶。這是一個上界，不是等式：前兩個因子通常抓得很準， $e^{LT}$ 常常太悲觀。

展開細節連續版 Grönwall 不等式與它的證明（四行）

連續版：若 φ(t) ≥ 0 滿足 φ(t) ≤ A + L∫₀ᵗ φ(s) ds，則 φ(t) ≤ A·e^(Lt)。證明：令 Ψ(t) = A + L∫₀ᵗ φ。則 Ψ′ = Lφ ≤ LΨ，所以 d/dt [Ψ e^(−Lt)] = (Ψ′ − LΨ)e^(−Lt) ≤ 0，Ψ(t)e^(−Lt) ≤ Ψ(0) = A，故 φ ≤ Ψ ≤ A e^(Lt)。□ 用法：兩條從相距 δ 的起點出發的軌跡，其距離 φ(t) = ‖x(t) − y(t)‖ 滿足 φ(t) ≤ δ + L∫₀ᵗ φ，所以 φ(t) ≤ δ e^(Lt)——起點的差距至多指數放大。Euler 的舊誤差被「帶著走」時放大的就是這個倍數；離散版只是把積分換成和、把 e^(Lh) 換成 (1+hL)。

回到彎道：直覺對了一半，數字對不上

用界估一次。 $v=16.7$ m/s、 $R=2000$ m， $\|\ddot x\|=v^2/R\approx0.139$ m/s²，全程 $T\approx188$ s，所以 $\int\|\ddot x\|dt\approx26$ m/s。 $h=30$ ： $\tfrac{h}{2}\times26\approx390$ m。 $L$ 是場對位置的敏感度：方向隨位置改變的速率約 $v/R\approx0.008$ /s， $LT\approx1.6$ ， $e^{LT}\approx4.8$ ，上界約 1900 m。

真實跑出來（下一節）是 486 公尺。所以：直覺的「幾十公尺」錯了一個數量級——隱含的假設是「每步只偏一點」，忘了六步會累積、還會被帶著放大；「直路不會錯」則完全正確，因為 $\ddot x=0$ 。上界 1900 m 抓到了正確的數量級，但 $e^{LT}$ 把它撐大了四倍——這正是理論常見的處境：它告訴你誤差隨哪些量、以什麼速率變化，但常數要靠實作校準。

而那個直覺回答不了的問題現在有答案：更新間隔改成 10 秒， $h$ 縮三倍，誤差也縮三倍（不是九倍）；要縮九倍得每 3.3 秒更新一次。

還有一件容易忘的假設： $\ddot x$ 是加速度，不只是轉彎。直路上如果你一直在加減速， $\ddot x\ne0$ ，Euler 也會錯——只是錯在沿路的前後位置，不是偏出路面。

回到彎道：跑一次，再把 $h$ 調到壞掉

import numpy as np
R, v = 2000.0, 60/3.6
T = (np.pi/2)*R/v                          # 走完四分之一圓的時間
def u(x): r = np.hypot(*x); return v*np.array([-x[1], x[0]])/r   # 沿圓切線
def euler(h):
    N = int(round(T/h)); x = np.array([R, 0.0])
    for _ in range(N): x = x + (T/N)*u(x)
    return np.linalg.norm(x - np.array([0.0, R]))   # 與真實終點 (0, R) 的距離
for h in [30, 10, 3, 1]: print(h, round(euler(h)))
# 486, 161, 49, 17：h 縮三倍、誤差縮三倍——一階

四個數字每次縮三倍，符合「一階」。再把 $h$ 往另一邊推：對 $\dot x=-kx$ （往路中央拉回的修正力， $k$ 大表示拉得急），Euler 一步是 $x_{n+1}=(1-hk)x_n$ 。 $hk<1$ 時單調收斂； $1<hk<2$ 時來回震盪但仍收斂； $hk>2$ 時 $|1-hk|>1$ ，每步放大，發散——這對應到界裡的 $(1+hL)^N$ 真的爆掉，界不再「太悲觀」，而是老實地預告了災難。步長不只影響精度，還影響穩定。

互動 demo · 規劃中導航追彎路：步長、曲率、與發散

位置：本節之後。檔名：m2-deterministic-dynamics/m2-3-1.html。
版面：左格俯視的道路與兩條軌跡（真實路徑實線、Euler 折線帶頂點）；右格是 log–log 的「 $h$ 對全域誤差」圖，理論斜率 1 的參考線用虛線畫出。
控制項：滑桿「更新間隔 $h$ 」（ $1$ – $60$ 秒）；滑桿「彎道半徑 $R$ 」（ $500$ m– $\infty$ ，最右端變成直路）；滑桿「車速 $v$ 」；下拉「路型」：等速圓弧、S 形彎（ $\ddot x$ 變號）、直路但加減速（ $\ddot x\ne0$ 卻不偏出路面）。按鈕「跑一次」逐步畫出 Euler 折線（不自動循環）。
右上角數字：實測全域誤差；理論的 $\tfrac{h}{2}\int\|\ddot x\|dt$ （不含 $e^{LT}$ ）與含 $e^{LT}$ 的上界，三個數字並排，讓讀者看到「不含放大因子的估計通常最接近、上界最保守」。
Hover 折線任一頂點：顯示該步的局部誤差 $\tfrac{h^2}{2}\|\ddot x\|$ 、到此為止累積的誤差、以及累積 ÷ 局部誤差之和的比值（放大倍數）。
拖 $R\to\infty$ ：折線與直路重合、誤差歸零；再切到「直路但加減速」，誤差重新出現、但方向沿著路。
穩定性子面板：一維 $\dot x=-kx$ ，滑桿 $hk\in[0,3]$ ，畫 $x_n$ 的序列； $hk<1$ 單調、 $1<hk<2$ 震盪收斂、 $hk>2$ 發散並亮紅。
底部觀察句：「觀察：Euler 每步偏 $\tfrac{h^2}{2}\|\ddot x\|$ ，全程約偏 $\tfrac{h}{2}\int\|\ddot x\|dt$ 再乘上一個放大因子—— $h$ 縮一半誤差縮一半。直路且等速時一步都不錯；步長太大時誤差不只變大，還會發散。」
匯出 PNG：兩格併成 16:9，含當前 $h$ 、 $R$ 、 $v$ 與誤差數字。

先消化一下

想一想

誤差界 $\tfrac{h}{2}e^{LT}\!\int\|\ddot x\|dt$ 裡，若場的 Lipschitz 常數 $L$ 很大（方向對位置極敏感，例如在岔路口附近），會發生什麼？

參考文獻

Hairer, E., Nørsett, S. P., Wanner, G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Springer, 2nd ed., 1993.（第 I.7 節與第 II.3 節：Euler 法的局部與全域誤差、Grönwall 型的累積論證。）
Butcher, J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Wiley, 3rd ed., 2016.（第 2 章：Euler 法的收斂與穩定性。）
Grönwall, T. H. Note on the Derivatives with Respect to a Parameter of the Solutions of a System of Differential Equations. Annals of Mathematics 20(4), 1919.（Grönwall 不等式的原始出處。）