M0.2 導航的三十秒：Taylor 展開與「假設直線」

兩次定位之間

手機導航不是每一瞬間都知道你在哪。它每隔一段時間收到一次定位——假設是每 $h$ 秒一次——兩次之間畫面上的小箭頭是算出來的：拿上一次的位置與速度，假設你維持同樣的速度、同樣的方向直走。

直路上這沒問題。問題在轉彎：你在市區以 36 km/h（每秒 10 公尺）進入一個半徑 20 公尺的彎，導航在你進彎的瞬間拿到最後一次定位，接下來 $h$ 秒都假設你直走。

我們漏掉的是進彎後速度方向的變化。能不能用當下的速度、再加上它的變化率，估計這個偏差？ 先看短短的一步，再問這個估計放到很長的時間後還能不能用。

課堂提問Q1

把情境翻成數學：這裡的函數是什麼？導航「假設直走」在做什麼運算？我們想估的量是什麼？

先想一想，再展開看整理後的答案

最直覺的說法是「函數是路線」，可以再精確一點。

函數是位置隨時間的軌跡 $x(t)$ ——一個輸入時間、輸出平面座標的函數（兩個分量）。最後一次定位發生在時間 $t$ ，導航知道的是當時的位置 $x(t)$ 與速度 $\dot x(t)$ （速度由前幾次定位差出來）。

「假設直走」是一個非常明確的運算：用

\tilde x(t+h)=x(t)+h\,\dot x(t)

當作 $t+h$ 時的位置。也就是說，導航用經過 $x(t)$ 、斜率為 $\dot x(t)$ 的直線取代了真實的曲線。

我們想估的量是這條直線與真實軌跡在 $t+h$ 時的距離 $\|x(t+h)-\tilde x(t+h)\|$ 。翻譯完會發現，問題其實跟導航無關：任何時候你用「當下的值加上當下的變化率乘時間」去預測未來，你都在假設直線；問題是這個假設在多長時間內可信、差多少。 這就是 Taylor 展開要回答的事。

一把彎的尺

拿一根有點彎的塑膠尺，貼著眼睛看很短的一段——它看起來是直的。看的範圍拉長，彎曲才顯現出來。

把很短的一段用切線取代，誤差來自切線方向之外的變化。對位置隨時間的函數，這個變化用 acceleration 描述。它不只包含轉彎：沿直線加速或減速，同樣會讓「維持當下速度」的預測出錯。若二階項非零且步長夠小，步長加倍，首要誤差會接近四倍，而不是永遠精確四倍。

導航的情形一模一樣：軌跡是那根尺，「兩次定位之間」是你看的那一段，轉彎的急緩是尺的彎曲程度。

曲線與切線在 h、2h、3h 處的偏差依一、四、九成長。

圖：平滑曲線離開切線的首要誤差是二階項，量級為 h²。

把「直線假設的誤差」寫成數學

先看一個分量。設 $f$ 是一個對時間的函數（例如位置的 $x$ 座標），在 $t$ 附近有二階導數。一階 Taylor 展開說

f(t+h)=f(t)+h\,f'(t)+R_1(h),\qquad R_1(h)=\frac{h^2}{2}f''(\xi)\ \text{（某個 }\xi\in[t,t+h]\text{）}.

前兩項是維持當下變化率的預測； $R_1$ 是 remainder（餘項）。只要這段時間內 $|f''|\le M$ ，就有 $|R_1|\le Mh^2/2$ 。固定同一個 $M$ 比較時，步長加倍，這個上界是四倍；實際誤差是否接近四倍，還要看二階導數在一步內如何變化。

展開細節餘項為什麼是 h²/2 乘二階導數（積分形式，六行）

由微積分基本定理， $f(t+h)-f(t)=\int_t^{t+h}f'(s)\,ds$ 。再對 $f'$ 用一次： $f'(s)=f'(t)+\int_t^{s}f''(r)\,dr$ 。代回去並交換積分順序：

f(t+h)-f(t)-h f'(t)=\int_t^{t+h}\!\!\int_t^{s}f''(r)\,dr\,ds=\int_t^{t+h}(t+h-r)\,f''(r)\,dr .

權重 $(t+h-r)$ 在 $[t,t+h]$ 上的積分是 $h^2/2$ ，所以 $|R_1|\le\frac{h^2}{2}\max|f''|$ ；若 $f''$ 連續，由中間值定理可以把它寫成 $\frac{h^2}{2}f''(\xi)$ 。對向量值的 $x(t)$ ，逐分量套用，或直接用積分形式得到 $\|R_1\|\le\frac{h^2}{2}\max\|\ddot x\|$ 。

二階 Taylor 多補一項，把「當下的加速度」也算進去：

f(t+h)=f(t)+h f'(t)+\frac{h^2}{2}f''(t)+R_2(h),\qquad |R_2(h)|\le\frac{h^3}{6}\max|f'''| .

規律是一致的：多用一階導數的資訊，餘項就多一個 $h$ 的次方。 但每一階都有同樣的但書——公式裡出現的是那段時間內的最大導數，而「它是一個好用的估計」需要 $h$ 小到 $f''$ 在這段時間裡沒有劇烈變化。

三個數字

把轉彎寫成數學：半徑 $R=20$ m 的圓弧、速率 $v=10$ m/s。圓周運動的加速度指向圓心、大小 $\|\ddot x\|=v^2/R=5$ m/s²，而且沿著圓弧處處相同，所以餘項的上界可以直接算：

\|x(t+h)-\tilde x(t+h)\|\ \le\ \frac{h^2}{2}\cdot\frac{v^2}{R}=2.5\,h^2\ \text{公尺}.

$h=1$ 秒：上界 2.5 m，實際約 2.48 m。 $h=2$ 秒：上界 10 m，實際約 9.73 m，接近前者四倍。這不是逐秒累積一個固定偏差：我們漏掉的速度變化還會繼續累積成位置誤差，因此短步長時首要項是 $h^2$ 。

$h=30$ 秒：上界 $2.5\times900=2250$ m。這個數字是對的（真實偏差確實不超過它），但毫無用處：30 秒內車以 10 m/s 在半徑 20 m 的圓上跑了 300 m，繞了兩圈多，真實位置離出發點不到 40 m，而直線預測跑到 300 m 外——真實偏差約 290 m。上界對、但鬆了將近十倍。原因是 $h^2$ 這個量級描述的是「 $h$ 小到軌跡在這段時間內還像一條拋物線」的情形；30 秒早已超出這個範圍，此時偏差其實接近 $v h$ （線性），因為真車根本沒走遠。

因此要分清兩件事：加速度在區間內有界時， $Mh^2/2$ 是上界；加速度在短短一步內變化不大時， $h^2\|a_t\|/2$ 才是好用的首要近似。等速直線的加速度為零，預測才完全精確；沿直線加減速仍有誤差，不能只看路線彎不彎。

若能估計 acceleration，就可以補上二階項。在這個等速圓周的例子，速率加上轉向率足以算出 acceleration；一般情況還要考慮速率的變化。 $h=1$ 秒時，二階 remainder 上界約 0.42 m，比一階近似更小。能不能不直接量 acceleration，而用幾次 velocity 查詢取得類似資訊？這會是 M2.4 的問題。

實際跑一次，再把彎弄急

import numpy as np
def err(h, v=10.0, R=20.0):
    th = v*h/R                                             # h 秒內轉過的角度
    true = R*np.array([np.sin(th), 1-np.cos(th)])          # 圓弧上的真實位置
    pred = np.array([v*h, 0.0])                            # 假設直走
    return np.linalg.norm(true-pred)
hs = np.array([0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, 4])
for R in (20.0, 2.0):                                      # 正常彎 vs 急彎（U-turn）
    e = np.array([err(h, R=R) for h in hs])
    print(f"R={R}: 誤差 {np.round(e, 2)}")
    print(f"       h 加倍後誤差的倍率 {np.round(e[1:]/e[:-1], 2)}   上界 {np.round(50*hs**2/R, 2)}")

$R=20$ 時，倍率一路是 $3.9$ – $4.0$ ，直到 $h=4$ 秒才掉到 $3.7$ —— $h^2$ 規律在 $h$ 小時精確兌現。 $R=2$ （一個急迫的 U-turn）時， $h=0.125$ 秒的誤差 0.39 m 仍與上界吻合，但倍率一路掉： $0.125\to0.25$ 還有 $3.87$ ，接著是 $3.50$ 、 $2.29$ 、 $1.78$ 、 $1.78$ ：加速度大了十倍，「一步之內像拋物線」的範圍縮到零點幾秒，同樣的 $h$ 在這裡已經算「太大」。

另一種違反是路徑不 smooth：如果司機在兩次定位之間瞬間變換車道（軌跡有一個折角），那一步的誤差與折角之後經過的時間成正比——是 $h$ 而不是 $h^2$ ，因為 Taylor 展開需要的二階導數在折角處根本不存在。

檢查理解

參考文獻

Strang, G. Calculus. Wellesley-Cambridge Press；MIT OpenCourseWare RES.18-001 免費全文。（Taylor 展開與餘項的章節。）
Hairer, E., Nørsett, S. P., Wanner, G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd ed. Springer 1993.（第 II 章：用 Taylor 展開分析一步法的局部誤差。）