M3.4 每條路徑對，還是最後的分佈對：Weak 與 Strong Convergence

本篇重用M3.1水流加亂流：SDE 是加了噪聲的 ODE·M2.3導航每 30 秒更新一次：Euler 法與它的誤差·M3.0醉漢一小時後在哪：Random Walk 到 Brownian Motion

一百條假的股價

你寫了一個程式模擬股價：每天的漲跌有一個平均趨勢，加上隨機波動——就是 M3.1 的 SDE，用 Euler–Maruyama 一天一步跑一年。老闆問：「這個模擬準不準？」

你跑了一百條路徑，畫出來像一百條真的股價圖。但「準」是什麼意思？有兩種可能的回答，它們聽起來差不多、要求卻差很多：

每一條路徑都對。 如果真實世界擲出了某一串隨機的漲跌（同一組硬幣），我的模擬走出來的那條線，要跟「用同一串硬幣、但以無限小的步長算出來」的真實路徑幾乎重合。
最後的分佈對。 我不在乎哪一條線對哪一條，只在乎一年後價格的分佈——平均、變異、超過某個門檻的機率——跟真實的一樣。

先用直覺想：這兩個要求哪個比較嚴格？「一天一步」對哪一個來說夠？如果要把誤差減半，兩個要求各需要把步長縮小多少？寫下你有多確定。

課堂提問Q1

把兩個要求翻成數學。「同一串硬幣」在 SDE 的語言裡是什麼？兩個要求各在比較哪個量？

先想一想，再展開看整理後的答案

最容易卡住的是「同一串硬幣」這個說法。M3.0 說 SDE 裡的隨機性是一條 Brownian motion $W_t$ ；「同一串硬幣」就是同一條 $W_t$ 的實現。真實路徑 $x_T$ 是用這條 $W$ 走出來的極限，模擬路徑 $\hat x_T^{(h)}$ 是用同一條 $W$ 在步長 $h$ 下、每步只看 $\Delta W=W_{t+h}-W_t$ 走出來的。兩者共用噪聲，所以可以逐條相減。

要求一（strong）比較的是同一條噪聲下的終點差距，取期望：

e_{\text{strong}}(h)=\mathbb E\big[\,|x_T-\hat x^{(h)}_T|\,\big].

要求二（weak）不共用噪聲——真實與模擬各自抽自己的樣本，只比較某個統計量：

e_{\text{weak}}(h)=\big|\,\mathbb E[\varphi(x_T)]-\mathbb E[\varphi(\hat x^{(h)}_T)]\,\big|,

對一類夠光滑的測試函數 $\varphi$ （平均是 $\varphi(x)=x$ 、二階動差是 $x^2$ 、超過門檻的機率是一個平滑化的階梯函數）。weak 說的是分佈接近，strong 說的是路徑接近。

兩者的關係一句話：strong 蘊含 weak（路徑都對了，分佈當然對），反之不成立——分佈對了，每條路徑可以完全對不上。

先看畫面：兩把尺

想像兩位評審在看你的模擬。

第一位拿著真實路徑的描圖紙，把你的每一條線疊上去比，量每一對線終點的差距，取平均。這是 strong 的尺——它在意「這一條對這一條」。

第二位根本不看哪條對哪條。她把你的一百個終點倒進一個直方圖，把真實的一百個終點倒進另一個直方圖，比兩個直方圖像不像。這是 weak 的尺。

第二位評審寬鬆得多：只要你的路徑「在統計上」走得像，就算每一條都跟真實的錯開，她也給滿分。而寬鬆的尺會給出更快的收斂——同樣的步長縮小一半，weak 誤差減半，strong 誤差只減到原來的 $1/\sqrt2$ 。

示意圖 · 規劃中兩把尺：逐路徑比，還是比直方圖

檔名：m3-stochastic-dynamics/imgs/m3-4-1.svg，16:9，左右兩格。
左格「strong」：同一條 Brownian motion 下，真實路徑（細實線，用步長極小算）與 Euler–Maruyama 路徑（粗虛線， $h$ 明顯較大），兩條線起點相同、大致同向、局部錯開；終點之間畫一段標 $|x_T-\hat x_T|$ 的紅色距離；下方小字「共用同一條 $W_t$ ，逐條相減，再取平均」。
右格「weak」：兩個並排的直方圖（真實 vs 模擬各 $10^4$ 個終點），形狀幾乎重合，中央一條標 $\mathbb E[\varphi(x_T)]-\mathbb E[\varphi(\hat x_T)]$ 的細箭頭；下方小字「不共用噪聲，只比分佈的平均」。
中間一條大箭頭「strong ⟹ weak」與反向劃掉的箭頭「weak ⇏ strong」。
圖說：「strong error 逐路徑比、weak error 只比分佈。路徑對了分佈一定對；分佈對了路徑可以完全對不上。寬鬆的尺會給出更快的收斂速度。」

寫成數學：一個方法，兩個階數

M2.3 對 ODE 說 Euler 的全域誤差是 $O(h)$ 。對 SDE，Euler–Maruyama 的結論是 [1, 2]：

e_{\text{strong}}(h)\le C\,h^{1/2},\qquad e_{\text{weak}}(h)\le C'\,h^{1} .

我們說 Euler–Maruyama 有 strong order $\tfrac12$ 、weak order $1$ 。同一個演算法，兩個速率。這不是兩個定理巧合地不一樣，而是同一件事的兩面，可以在一個小例子裡看清楚。

看最簡單的 SDE $dx=\sigma\,x\,dW_t$ （沒有 drift，噪聲乘在 $x$ 上——這正是股價模型的骨架）。Euler–Maruyama 一步是 $\hat x_{t+h}=\hat x_t(1+\sigma\Delta W)$ 。真實的一步（用 Itô 的結果，這門課只引用）是 $x_{t+h}=x_t\exp(\sigma\Delta W-\tfrac12\sigma^2h)$ 。把指數展開到二階：

x_{t+h}=x_t\Big(1+\sigma\Delta W+\tfrac12\sigma^2\big[(\Delta W)^2-h\big]+\dots\Big).

Euler 少掉的那一項是 $\tfrac12\sigma^2x_t\big[(\Delta W)^2-h\big]$ 。現在用兩把尺量它：

Strong 的尺看它的大小。 $(\Delta W)^2$ 的典型大小是 $h$ （M3.0： $\Delta W\sim\sqrt h$ ），所以 $(\Delta W)^2-h$ 的標準差是 $\sqrt2\,h$ 。每步漏掉的量 $\sim h$ ，但這些漏掉的量是隨機的、正負互相獨立， $N=T/h$ 步累積起來像 random walk：總和 $\sim\sqrt N\cdot h=\sqrt{T/h}\cdot h=\sqrt{Th}$ 。這就是 $h^{1/2}$ 。
Weak 的尺看它的平均。 $\mathbb E[(\Delta W)^2-h]=0$ ——這一項在平均下完全消失。剩下的偏差來自更高階的項，每步 $O(h^2)$ ， $N$ 步累積成 $O(h)$ 。這就是 $h^1$ 。

一句話：Euler 每步漏掉的主要誤差是一個零均值的隨機量。 逐路徑比，它累積成 $\sqrt h$ ；只比分佈，它平均掉了，剩下的是 $h$ 。

展開細節一般 SDE 的版本：為什麼 strong 是 1/2、weak 是 1（Kloeden & Platen 的兩個定理）

一般 dx = f(x)dt + g(x)dW。Euler–Maruyama 的單步展開比真實解少掉的首項是 ½ g(x)g′(x)[(ΔW)² − h]（Itô–Taylor 展開的下一項；補上它就是 Milstein 方法，strong order 升到 1）。

Strong：這一項的 L² 大小是 O(h)，各步近乎獨立，N = T/h 步以「平方和開根號」累積 → O(√(N h²)) = O(h^{1/2})。若 g 是常數（additive noise），這一項恆為零，Euler–Maruyama 的 strong order 直接變成 1。

Weak：對光滑的 φ，令 u(t,x) = E[φ(x_T) | x_t = x]（它滿足向後的 Kolmogorov 方程）。單步的 weak 誤差是 E[u(t+h, x̂_{t+h})] − E[u(t+h, x_{t+h})]；把 u 對 x 展開，零均值的隨機項全部被期望消掉，剩下的首項是 O(h²)；N 步累積成 O(h)。條件：φ、f、g 要夠光滑（一般要求 φ 有四階以上的有界導數）；φ 是不光滑的指標函數時，weak order 可能掉到 1/2。這門課只用結論，證明見 Kloeden & Platen [1] 第 10 與 14 章、Milstein & Tretyakov [4]。

回到股價：該拿哪把尺

回答老闆。「準不準」取決於他要拿模擬做什麼：

若他要的是一年後價格的分佈——平均報酬、風險值、超過某門檻的機率——那是 weak 的問題。一天一步（ $h=1/252$ ）給 $O(h)$ 的偏差，通常已經遠小於這些統計量本身的抽樣誤差（一百條路徑的 Monte Carlo 誤差 $\sim1/\sqrt{100}=10\%$ ）。把步長縮小一半，偏差減半。
若他要的是逐日對照某條真實走勢——例如拿模擬去對沖一條特定路徑、或做路徑相依的產品定價時需要每條路徑本身準——那是 strong 的問題。一天一步的誤差是 $O(\sqrt h)$ ，要減半得把步長縮到四分之一。

多數「模擬」的目的其實都是第一種：我們要的是樣本，不是某一條特定的路徑。這時 strong error 是過度嚴格的尺——你為一個沒人要求的目標付出了四倍的計算。這就是為什麼「用 SDE 抽樣本」的世界裡，看的永遠是 weak error。

這個判斷依賴兩個假設。第一，被比較的統計量夠光滑——weak order $1$ 是對光滑 $\varphi$ 說的，若你要的是「價格恰好超過 100 的機率」這種階梯函數，階數會掉。第二，你不需要共用噪聲——一旦你的用途要求「同一組隨機數下模擬與真實對上」（例如把模擬拿去和真實資料逐日對比），你就回到了 strong 的世界。

回到股價：把兩條斜率量出來

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)
sigma, T, M = 1.0, 1.0, 20000                              # M = 路徑數（步數在下面叫 N = T/h）
W_fine = np.cumsum(np.sqrt(1/4096) * rng.standard_normal((M, 4096)), axis=1)   # 一條「真實」Brownian motion
x_true = np.exp(sigma * W_fine[:, -1] - 0.5 * sigma**2 * T)                     # dx = σ x dW 的精確解（Itô）
for h in [1/16, 1/64, 1/256]:
    k = int(4096 * h)
    dW = np.diff(np.concatenate([np.zeros((M, 1)), W_fine[:, k-1::k]], axis=1), axis=1)  # 同一條 W，粗步長
    x_em = np.prod(1 + sigma * dW, axis=1)
    strong = np.abs(x_em - x_true).mean()                       # 共用噪聲，逐路徑比
    weak_exact = abs((1 + sigma**2 * h)**(T/h) - np.exp(sigma**2 * T))   # φ(x)=x²：E[x̂²] 有 closed form，真值是 e
    weak_mc    = abs((x_em**2).mean() - np.exp(sigma**2 * T))   # 同一個量用 20000 條路徑估
    print(f"h={h:.4f}  strong={strong:.3f}  weak(exact)={weak_exact:.4f}  weak(MC)={weak_mc:.3f}")
# 期待：h 縮 4 倍，strong 約減半（order 1/2）、weak(exact) 約減 4 倍（order 1）；weak(MC) 被抽樣誤差蓋住

三個步長下，strong error 大約是 $0.145\to0.071\to0.035$ ——步長每縮 4 倍誤差減半，斜率 $\tfrac12$ 。weak error 對 $\varphi(x)=x^2$ 可以精確算（ $\mathbb E[\hat x_T^2]=(1+\sigma^2h)^{T/h}$ ，真值是 $e^{\sigma^2T}=e$ ）： $0.085\to0.021\to0.0053$ ，每次減 4 倍，斜率 $1$ 。把兩條線畫在 log–log 圖上，一條 $\tfrac12$ 、一條 $1$ 。

順帶看 weak(MC) 那一欄：用兩萬條路徑估同一個量，數字大約在 $0.03$ – $0.08$ 之間跳、幾乎不隨 $h$ 下降——因為 $x_T^2$ 的抽樣誤差（ $\approx20/\sqrt{20000}\approx0.14$ ）早就大過離散化偏差。這正是後面 quiz 要問的事：瓶頸已經不在步長。

（為什麼不用 $\varphi(x)=x$ ？因為 $\mathbb E[\hat x_T]=1$ 對任何 $h$ 都精確成立——Euler–Maruyama 保住了這個 SDE 的平均，weak error 恰為零。挑一個會出錯的 $\varphi$ 才量得到斜率。）

刻意違反一個假設。 把 $\varphi(x)=x$ 換成 $\varphi(x)=\mathbf 1[x>1]$ （超過起始價的機率）。weak error 的斜率會從 1 掉下來——階梯函數不光滑，展開框裡「把 $u$ 對 $x$ 展開」的步驟失效。再把 $dW$ 換成模擬與真實各自獨立抽的噪聲：strong error 不再隨 $h$ 下降（兩條路徑本來就不該對上），只剩 weak error 有意義。

互動 demo · 規劃中兩條斜率：strong 1/2、weak 1

位置：本節之後。檔名：m3-stochastic-dynamics/m3-4-1.html。
版面：左格是路徑圖：一條 Brownian motion 下的真實路徑（極細步長）與 Euler–Maruyama 路徑，共 8 對，同色配對；右格是 log–log 的誤差圖，橫軸 $h$ 、縱軸誤差，兩條線 strong / weak，旁邊畫參考斜率 $\tfrac12$ 與 $1$ 。
控制項：滑桿「步長 $h$ 」（ $2^{-2}$ – $2^{-10}$ ，拖動時左格的粗路徑即時重算、右格亮出對應的兩個點）；下拉「SDE」： $dx=\sigma x\,dW$ （multiplicative）、 $dx=-x\,dt+dW$ （additive，Ornstein–Uhlenbeck）；下拉「測試函數 $\varphi$ 」： $x$ 、 $x^2$ 、 $\mathbf 1[x>1]$ ；開關「共用噪聲」（關掉後 strong 的線變成一條不下降的水平線並標「不共用噪聲時 strong error 沒有意義」）。
行為：切到 additive noise，strong 的斜率從 $\tfrac12$ 變成 $1$ （ $g'=0$ ，Milstein 修正項消失），畫面標「additive noise：Euler 的 strong order 也是 1」；切到 $\varphi=\mathbf 1[x>1]$ ，weak 的斜率下降並標「不光滑的 $\varphi$ ，weak order 掉」。
Hover 右格任一點：顯示該 $h$ 下的路徑數、Monte Carlo 標準誤差（灰色誤差棒），讓讀者看到 weak error 很快小於抽樣誤差。
底部觀察句：「觀察：Euler 每步漏掉的首項是零均值的隨機量——逐路徑比它累積成 $\sqrt h$ ，只比分佈它平均掉、剩 $h$ 。要的是樣本就看 weak；要逐路徑對上才需要 strong。」
匯出 PNG：左右併成 16:9，含當前 $h$ 、SDE、 $\varphi$ 與兩個誤差值。

先消化一下

想一想

氣象局用 SDE 模擬明天氣溫，跑一萬次，只發布「明天氣溫超過 30 度的機率」。衡量這個模擬準不準，該看：

參考文獻

Kloeden, P. E., Platen, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, 1992.（第 9.6 節 strong convergence 定義、第 9.7 節 weak convergence 定義；第 10.2 節 Euler 的 strong order 1/2；第 14.1 節 weak order 1。）
Higham, D. J. An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. SIAM Review 43(3), 2001.（用 $dx=\lambda x\,dt+\mu x\,dW$ 逐段實作並量出兩個階數的教學文章；本篇程式的原型。）
Särkkä, S., Solin, A. Applied Stochastic Differential Equations. Cambridge University Press, 2019.（第 8 章：Euler–Maruyama、Milstein、strong 與 weak order。）
Milstein, G. N., Tretyakov, M. V. Stochastic Numerics for Mathematical Physics. Springer, 2004.（weak approximation 的一般理論與對 $\varphi$ 光滑性的要求。）