學習目標:把六種設定的曲率積分 ∫‖ẍt‖dt 當橫軸、Euler 的終點誤差當縱軸畫出來。上界說誤差被積分壓住——如果這條不等式抓對了東西,六個點應該落在一條斜線附近。

每個點是一種設定(路徑 × 配對 × γ)。兩軸都是對數;灰虛線=斜率 1 的參考線(誤差正比於積分)

Euler 步數
資料
log-log 擬合斜率 = 相關係數 r =

六個點確實排成一條線:擬合斜率大約 0.8~1.1、相關係數 0.95 以上——曲率積分大三倍,同樣步數的誤差大約也大三倍。換步數時整條線上下平移但排列不變,因為步數只改 h,不改積分。換配對是最有效的一招(線性路徑從獨立換成依位置,積分約 9 → 1.4)。而 γ 的效果要看情況:加在已經很好的配對上會讓積分變大(1.4 → 3.5,因為條件路徑不再是直線),加在很糟的配對上反而變小(9 → 6,因為它把速度場抹平了)。