U6.5 多步 CM 的極限：每一步都得回到 x₀

常見的答案主要有三種：「因為 $f_\theta$ 每一步都帶同樣的誤差，多幾步也不會變小」（對，但要說出為什麼ODE 不是這樣）、「因為重新加噪把資訊洗掉了」（對一半）、「因為 CM 沒有 score」（對，這是 U3.1 的語言）。三個都對，而且它們是同一件事的三個面。

第一個面：這不是在離散化任何東西。 ODE 的 $N$ 步是同一條軌跡的 $N$ 段折線，每一段的誤差是 $O(h^2)$、加起來 $O(h)$，步數越多越貼近那條軌跡——存在一個「連續的極限」被逼近。多步 CM 不是這樣：第一跳落在 $\hat x_0$，重新加噪後的 $x_{\tau_1}=\hat x_0+\tau_1z_1$ 用的是新的噪聲 $z_1$，它與 $x_T$ 沒有任何關係。$x_{\tau_1}$ 不在 $x_T$ 那條 PF-ODE 軌跡上，也不在任何一條「原本的」軌跡上——它是從 $(\hat x_0,z_1)$ 這組新的、獨立的配對重新出發的一條條件直線上的點。第二跳算的是「經過 $x_{\tau_1}$ 的那條軌跡的終點」，那是另一條軌跡、另一個終點。所以多步 CM 沒有在逼近任何連續極限；它是一連串各自獨立的「加噪－去噪」，步數再多也不會收斂到什麼。

這正是 U2.3 Q1 的圖：條件直線 $\hat x_0+\tau z$ 與邊際軌跡不是同一條線，它們交叉。每一次重加噪就是畫一條新的、隨機方向的條件直線，然後從它上面的一點沿邊際軌跡走回來——起點與終點的對應每一步都在換。

第二個面：每一跳的誤差都是「滿的」。 第 $k$ 跳的輸出是 $f_\theta(x_{\tau_{k}},\tau_k)$，它的誤差是 $f_\theta$ 在 $(x_{\tau_k},\tau_k)$ 處的逼近誤差 $\|f_\theta-f\|$，與 $k$ 無關、與前面跳過幾次無關。最後一跳決定輸出，而最後一跳的誤差不會因為前面多跳了幾次而變小。那第二步為什麼幫很多？因為 $\tau_1<T$：$f_\theta(\cdot,\tau_1)$ 要跨的距離短、要表達的映射簡單，逼近誤差本來就比 $f_\theta(\cdot,T)$ 小（U6.1 說過一步跨整條軌跡是最難的）。第二步的增益不是「修正了第一步」，是「換了一個比較容易的問題」。而 $\tau$ 不能一路變小——$\tau$ 太小時 $x_\tau\approx\hat x_0$、$f_\theta(x_\tau,\tau)\approx x_\tau$，第二跳幾乎是恆等，第一跳的錯誤原樣保留。所以存在一個最佳的 $\tau_1$，通常在中段，而第三步以後已經沒有「更容易的問題」可以換了。

第三個面：沒有 score，就沒有拉回。 U3.1 說自我修正是 Langevin 項的功勞：$\varepsilon\,s_t\,dt+\sqrt{2\varepsilon}\,dW$ 把偏離 $p_t$ 的樣本往高密度區推，噪聲再把它們攤開，兩者平衡時樣本就落在 $p_t$ 上。CM 手上沒有 score——$f_\theta$ 是一個確定映射，訓練時從來沒有學過 $\nabla\log p_t$。重加噪看起來像 Langevin 的噪聲項，但少了配套的 drift；它只是把 $\hat x_0$ 的誤差平移到 $x_{\tau_1}$，然後交給另一個同樣有誤差的確定映射。多步 CM 的重加噪是 U3.1 那兩個旋鈕裡的「取樣噪聲」，卻沒有讓它發揮作用的 score。

三個面合起來：多步 CM 的每一步都必須回到 $x_0$、再從 $x_0$ 用一組獨立的噪聲重新出發。 回到 $x_0$ 是因為 $f$ 只會跳到終點（它的定義就是 $\psi_{t\to\varepsilon}$）；重新出發是因為沒有別的辦法從 $x_0$ 得到一個 $t=\tau$ 的點。這兩件事讓多步 CM 既不是 ODE 的離散化（沒有連續極限）、也不是 SDE 的取樣器（沒有 score）。

所以 U3.2 那個 $O(1/N)$ 的保證在這裡沒有了。它不保證誤差隨步數下降，也不保證持平：Sabour 等人 [4] 對 Gaussian 資料證明，存在一個次佳的 $f_\theta$ 使得步數超過某個 $N$ 之後 $W_2$ 上升。換句話說，多步 CM 不一定還保有「多走幾步就更好」這件事——有沒有，要看那個 $f_\theta$。