M3.1 水流加亂流：SDE 是加了噪聲的 ODE

本篇重用M3.0醉漢一小時後在哪：Random Walk 到 Brownian Motion·M2.0河面上的箭頭：Vector Field 與 ODE

同一條河，多了亂流

回到 M2.0 的那條河，但這次看得更仔細。水面有一個穩定的主流，每秒把東西往下游帶 0.5 公尺；水面也有亂流——無數細小的渦旋，每一瞬間隨機地把葉子往左或往右推一點，推的方向與前一瞬間無關。

你在橋下放一片葉子。一分鐘後它在哪？

先用直覺回答，並寫下你有多確定。多數人會說「大概在下游 30 公尺處，左右晃一點」。這個答案的骨架是對的，但兩件事說不清楚：「晃一點」是多少——一公分、一公尺、十公尺？以及如果你想用電腦模擬這片葉子，每一步該加多大的隨機推力？上一篇（M3.0）給了一個提示：亂流的累積效果按 $\sqrt t$ 長。這一篇把水流與亂流放在同一條式子裡。

課堂提問Q1

翻成數學。「主流」與「亂流」各是什麼物件？「一分鐘後的位置」是什麼——一個數、還是一個分佈？把 ODE $\dot x=f(x,t)$ 改成含亂流的版本，該怎麼寫？

先想一想，再展開看整理後的答案

課堂上通常先寫 $\dot x=f(x,t)+\text{噪聲}$ ，然後卡在「噪聲怎麼寫」。上一篇已經告訴我們答案：Brownian motion 沒有速度（ $\sqrt h/h\to\infty$ ），所以不能寫成 $\dot x$ 的形式，只能寫增量。

先把 ODE 改寫成增量：在一小段時間 $h$ 內， $x(t+h)-x(t)\approx f(x,t)\,h$ 。亂流在這段時間內的推力是 Brownian motion 的增量 $W_{t+h}-W_t\sim\mathcal N(0,h)$ ，乘上一個強度 $g$ 。合起來：

x(t+h)-x(t)\;\approx\;f(x,t)\,h\;+\;g(t)\,\big(W_{t+h}-W_t\big).

把 $h\to0$ 的這個關係記成

dx_t=f(x_t,t)\,dt+g(t)\,dW_t .

這叫 SDE（stochastic differential equation）。主流是 $f$ ，叫 drift（確定的推動）；亂流的強度是 $g$ ，叫 diffusion coefficient（隨機的擴散）。「一分鐘後的位置」 $x_{60}$ 是一個隨機變數——每片葉子走出不同的路；我們能問的是它的分佈：均值、標準差、長什麼形狀。這與 ODE 的根本差別：ODE 的解是一條路，SDE 的解是一個分佈隨時間的演化。

先看畫面：一條路變成一把扇子

ODE 的葉子畫出一條線。SDE 的葉子每一瞬間被隨機推一下，畫出一條抖動的線；放一百片葉子，一百條抖動的線從同一點出發，往下游張開成一把扇子——中心線是 drift 帶著走的那條 ODE 軌跡，扇子的寬度按 $g\sqrt t$ 長。

所以 SDE 可以拆成兩個你已經認識的東西疊起來：一條 ODE 的路（M2.0）加上一個 random walk 的散開（M3.0）。drift 決定扇子往哪彎， $g$ 決定扇子多寬。

示意圖 · 規劃中一條路變成一把扇子

檔名：m3-stochastic-dynamics/imgs/m3-1-1.svg，16:9。
版面：俯視的河，主流往右。左半： $g=0$ ，一片葉子的 ODE 軌跡（一條平滑曲線，沿 $u=(0.5,\,0.1\cos(x/5))$ 微微擺動）。右半：同一個 drift 加 $g=0.3$ ，畫 100 條 Euler–Maruyama 路徑（細線半透明）從同一起點出發，疊上中心線（原 ODE 軌跡，粗線）與 $\pm g\sqrt t$ 、 $\pm2g\sqrt t$ 的包絡（虛線）。
在 $t=60$ 處畫一條垂直的截線，旁邊小圖是該時刻橫向位置的直方圖疊 Gaussian，標「均值 ≈ 30 m，標準差 ≈ $0.3\sqrt{60}\approx2.3$ m」。
圖說：「SDE 的解不是一條路，是一把扇子。中心線由 drift $f$ 決定，扇子寬度由 $g\sqrt t$ 決定。」

寫成數學：讀法、模擬、以及為什麼是 $\sqrt h$

讀法就是定義（本課程採用的層次）。 給 $f$ 、 $g$ ，SDE $dx=f\,dt+g\,dW$ 的意思是：對任何很小的 $h$ ，

x_{t+h}=x_t+f(x_t,t)\,h+g(t)\sqrt h\,\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\sim\mathcal N(0,I)\ \text{彼此 independent},

且 $h\to0$ 時這串點的分佈收斂。嚴格的定義需要 Itô 積分 [3]，這門課刻意不走那條路：上面這個讀法在 $g$ 不依賴 $x$ 時與嚴格定義一致，而且它就是演算法。

Euler–Maruyama 法。 把讀法直接寫成迴圈：

x_{n+1}=x_n+h\,f(x_n,t_n)+g(t_n)\sqrt h\,\varepsilon_n .

它是 M2.3 的 Euler 法加一項噪聲； $g\equiv0$ 時就退回 Euler。

為什麼是 $\sqrt h$ 。 三行檢查。走到 $T$ 需要 $N=T/h$ 步，噪聲項的總和是 $\sum_n g\sqrt h\,\varepsilon_n$ ，independent Gaussian 相加、variance 相加（M1.0）：

\mathrm{Var}\Big(\sum_{n=0}^{N-1}g\sqrt h\,\varepsilon_n\Big)=N\,g^2h=g^2T .

與 $h$ 無關——把步長切細，亂流的總效果不變，這是模擬應有的性質。若寫成 $g\,h\,\varepsilon_n$ ，總 variance 是 $g^2hT\to0$ ，步長越細亂流越小，模擬結果會隨你選的 $h$ 改變——這不是一個合法的模型。 $\square$

一個能對答案的例子。 $f\equiv c$ （等速主流）、 $g$ 常數：把讀法從 $0$ 加到 $T$ ， $x_T=x_0+cT+g\sum\sqrt h\varepsilon_n$ ，後面那個和是 $\mathcal N(0,g^2T)$ ，所以

x_T\sim\mathcal N\big(x_0+cT,\;g^2T\big).

$c=0.5$ 、 $g=0.3$ 、 $T=60$ ：均值 30 公尺、標準差 $0.3\sqrt{60}\approx2.3$ 公尺。這就是「晃一點」的大小。

展開細節這門課不用 Itô 積分，代價是什麼

上面的讀法有一個隱藏的選擇：噪聲強度 g 在每一步用的是步「起點」的值。當 g 只依賴 t，起點、中點或終點的 g 在 h → 0 時沒有差別。當 g 依賴 x（例如亂流在河中央比岸邊強），差別就出現了：用起點的 g(xₙ) 對應 Itô 的定義，用中點對應 Stratonovich 的定義，兩者的極限是不同的過程，差一個 ½ g ∂ₓg 的 drift。這門課只處理 g = g(t) 的情形，所以不需要區分；遇到 g(x) 時要另外學 Itô 引理 [1, 3]。另一個代價是我們沒有證明「h → 0 時分佈收斂」——這是本 class 最後一篇（M3.4）與 [4] 的內容。

回到河面：直覺的骨架對了，數字補上了

起點問題的答案：一分鐘後葉子在下游約 30 公尺處，左右偏差的標準差約 2.3 公尺——95% 的葉子落在 $30\pm4.6$ 公尺內。直覺的「晃一點」沒錯，但它說不出 2.3 這個數字從哪來：來自 $g\sqrt T$ ，也就是 M3.0 的 $\sqrt t$ 規律。

這個判斷依賴的假設：亂流的推力是 Brownian 增量——每一瞬間 independent、Gaussian、variance 與時間成正比。以及 $g$ 不依賴位置。真實的河兩者都不完全成立：渦旋有大小，推力在一個渦旋的時間尺度內是相關的（那會像上一篇的 $\rho>0$ ，把有效的 $g$ 放大）；河中央的亂流比岸邊強（ $g$ 依賴 $x$ ，進入展開框裡說的 Itô 領域）。理論告訴你這兩件事會往哪個方向偏；偏多少，要靠實作。

回到河面：模擬一次，再用錯誤的尺度模擬一次

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
def em(f, g, x0, T, h, trials=20000, noise_scale='sqrt'):
    x = np.full(trials, x0); N = int(round(T/h))
    for n in range(N):
        eps = rng.standard_normal(trials)
        step = np.sqrt(h) if noise_scale == 'sqrt' else h      # 正確 vs 錯誤的尺度
        x = x + h*f(x) + g*step*eps
    return x
for h in [1.0, 0.1, 0.01]:
    ok  = em(lambda x: 0.5, 0.3, 0.0, 60.0, h)
    bad = em(lambda x: 0.5, 0.3, 0.0, 60.0, h, noise_scale='h')
    print(h, round(ok.mean(),2), round(ok.std(),2), '| h-scaled std:', round(bad.std(),3))
# 均值 30.0、標準差 2.32，與 h 無關；用 h 當尺度時標準差 2.3 → 0.73 → 0.23，隨 h 消失

用 $\sqrt h$ 時三種步長給出同樣的均值與標準差，與理論 $\mathcal N(30,2.32^2)$ 一致——這是「模型合法」的實作證據。用 $h$ 時標準差每縮 $h$ 十倍就縮 $\sqrt{10}$ 倍，模擬結果取決於你選的步長，理論預告的失敗兌現了。再進一步違反假設：把 $\varepsilon_n$ 換成前後相關的序列（例如 $\varepsilon_n=\rho\varepsilon_{n-1}+\sqrt{1-\rho^2}\eta_n$ ），標準差會被放大，且放大的倍數隨 $h$ 改變——噪聲不再是 Brownian 增量，SDE 的讀法不再適用。

互動 demo · 規劃中 Euler–Maruyama：對的尺度、錯的尺度、相關的噪聲

位置：本節之後。檔名：m3-stochastic-dynamics/m3-1-1.html。
版面：左格俯視的河，畫 200 條 Euler–Maruyama 路徑成扇形，疊 ODE 中心線與 $\pm g\sqrt t$ 包絡；右格是 $t=T$ 的橫向位置直方圖疊理論 Gaussian $\mathcal N(x_0+cT,g^2T)$ ，右上角顯示實測均值、標準差與理論值。
控制項：滑桿「步長 $h$ 」（ $3,\,1,\,0.3,\,0.1,\,0.03$ 秒）；滑桿「主流 $c$ 」與「亂流強度 $g$ 」；三選一「噪聲尺度」： $\sqrt h\,\varepsilon$ （正確）、 $h\,\varepsilon$ （錯誤）、 $\varepsilon$ 不縮放（錯誤）；滑桿「噪聲相關 $\rho$ 」（ $0$ – $0.95$ ，以 $h$ 為單位的相鄰步相關）；下拉「drift」：等速、往中線拉回的 $-0.1\,y$ 、擺動的 $0.1\cos(x/5)$ 。按鈕「重抽」。
行為：正確尺度下拖 $h$ ，扇形寬度與直方圖不動，只有路徑變得更細碎； $h\varepsilon$ 時 $h$ 越小扇子越窄、直方圖縮成一根柱；不縮放時扇子爆開。拖 $\rho>0$ ：直方圖變寬、實測標準差高於理論值，且縮小 $h$ 時倍數改變，畫面標「噪聲不是 Brownian 增量，讀法失效」。
Hover 左格任一路徑：把它的路拆成兩條顯示——drift 累積的部分（平滑）與噪聲累積的部分（random walk），讓讀者看到「SDE = ODE + random walk」。
底部觀察句：「觀察：每一步走 $fh$ 、再加 $g\sqrt h\,\varepsilon$ ，就是 SDE 的全部； $\sqrt h$ 讓亂流的總效果與步長無關。寫成 $h\varepsilon$ 噪聲會隨步長消失；噪聲前後相關時扇子比理論寬，且寬多少取決於 $h$ 。」
匯出 PNG：兩格併成 16:9，含當前 $h$ 、 $c$ 、 $g$ 、尺度選項與 $\rho$ 。

先消化一下

想一想

一個電池的電量每小時穩定下降 2%，同時因為溫度波動每小時隨機上下浮動、浮動彼此獨立。要模擬 24 小時後電量的分佈，該用哪個工具？

想一想

SDE $dx=f\,dt+g\,dW$ 裡，若 $g$ 依賴位置 $x$ （河中央亂流較強），本篇的讀法「每步用起點的 $g(x_n)$ 」：

參考文獻

Särkkä, S., Solin, A. Applied Stochastic Differential Equations. Cambridge University Press, 2019.（第 2–4 章：SDE 的直覺讀法、Itô 與 Stratonovich 的差別、Euler–Maruyama。）
Higham, D. J. An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. SIAM Review 43(3), 2001.（用十幾行 MATLAB 建立 Brownian motion 與 Euler–Maruyama 的教學經典。）
Øksendal, B. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, 6th ed., 2003.（第 3–5 章：Itô 積分與 SDE 的嚴格定義——本課程刻意略過的部分。）
Kloeden, P. E., Platen, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, 1992.（第 9–10 章：Euler–Maruyama 的收斂性。）