M3.1 水流加亂流：SDE 是加了噪聲的 ODE

本篇重用2 篇

同一條河，多了亂流

回到 M2.0 的那條河，但這次看得更仔細。水面有一個穩定的主流，每秒把東西往下游帶 0.5 公尺；水面也有亂流——無數細小的渦旋，每一瞬間隨機地把葉子往左或往右推一點，推的方向與前一瞬間無關。

你在橋下放一片葉子。一分鐘後它在哪？

主流會把葉子帶往下游，隨機擾動卻讓相同起點的葉子走出不同的路。要怎麼把這兩種移動放進同一條規則？ 上一篇的 random walk 已經給了噪聲的尺度：時間 $h$ 內的增量是 $\sqrt h$ 大小；主流的位移則是 $h$ 大小。

課堂提問Q1

翻成數學。「主流」與「亂流」各是什麼物件？「一分鐘後的位置」是什麼——一個數、還是一個分佈？把 ODE $\dot x=f(x,t)$ 改成含亂流的版本，該怎麼寫？

先想一想，再展開看整理後的答案

課堂上通常先寫 $\dot x=f(x,t)+\text{噪聲}$ ，然後卡在「噪聲怎麼寫」。上一篇已經告訴我們答案：Brownian motion 沒有速度（ $\sqrt h/h\to\infty$ ），所以不能寫成 $\dot x$ 的形式，只能寫增量。

先把 ODE 改寫成增量：在一小段時間 $h$ 內， $x(t+h)-x(t)\approx f(x,t)\,h$ 。亂流在這段時間內的推力是 Brownian motion 的增量 $W_{t+h}-W_t\sim\mathcal N(0,h)$ ，乘上一個強度 $g$ 。合起來：

x(t+h)-x(t)\;\approx\;f(x,t)\,h\;+\;g(t)\,\big(W_{t+h}-W_t\big).

把 $h\to0$ 的這個關係記成

dx_t=f(x_t,t)\,dt+g(t)\,dW_t .

這叫 SDE（stochastic differential equation）。 $f$ 是 drift， $g$ 是 diffusion coefficient。它的解是一個隨時間變動的 random process；每次給定 Brownian noise 的 realization，就得到一條 random trajectory。 $x_{60}$ 則是其中一個時刻的隨機變數，它的 distribution 不是整條 process 本身。

一條路變成一把扇子

對固定主流 $f=c$ 、固定強度 $g$ ，一百條路會像扇子散開：中心是 $x_0+ct$ ，標準差是 $g\sqrt t$ 。這個特例很適合先理解兩項的角色，但一般 drift 會影響散開程度；例如往中央拉回的 drift，可以讓 variance 不再持續增加。

一般情況不能把解直接拆成「ODE 解加 Brownian motion」。因為隨機偏移後，葉子讀到的 drift 也會改變； $\frac{d}{dt}\mathbb E[x_t]=\mathbb E[f(x_t,t)]$ ，通常不等於 $f(\mathbb E[x_t],t)$ 。

一條路變成一把扇子

圖：固定 drift 與固定 diffusion 的特例，中心平移、標準差按 $g\sqrt t$ 增加。

讀法、模擬、以及為什麼是 $\sqrt h$

先用一小步理解。 假設係數滿足適當的存在、唯一與收斂條件，SDE 在小步長下可以近似為

x_{t+h}\approx x_t+f(x_t,t)\,h+g(t)\sqrt h\,\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\sim\mathcal N(0,I)\ \text{彼此 independent}.

這是 Euler–Maruyama approximation，不是有限步的精確等式。嚴格的 Itô SDE 由積分定義： $x_t=x_0+\int_0^t f(x_s,s)\,ds+\int_0^t g(s)\,dW_s$ [1, 3]。本篇先用增量理解這個式子，收斂的條件留到本單元最後。

Euler–Maruyama 法。 把讀法直接寫成迴圈：

x_{n+1}=x_n+h\,f(x_n,t_n)+g(t_n)\sqrt h\,\varepsilon_n .

它是 M2.3 的 Euler 法加一項噪聲； $g\equiv0$ 時就退回 Euler。

為什麼是 $\sqrt h$ 。 三行檢查。走到 $T$ 需要 $N=T/h$ 步，噪聲項的總和是 $\sum_n g\sqrt h\,\varepsilon_n$ ，independent Gaussian 相加、variance 相加（M1.0）：

\mathrm{Var}\Big(\sum_{n=0}^{N-1}g\sqrt h\,\varepsilon_n\Big)=N\,g^2h=g^2T .

與 $h$ 無關——把步長切細，亂流的總效果不變，這是模擬應有的性質。若寫成 $g\,h\,\varepsilon_n$ ，總 variance 是 $g^2hT\to0$ ，步長越細亂流越小，模擬結果會隨你選的 $h$ 改變——這不是一個合法的模型。 $\square$

一個能對答案的例子。 $f\equiv c$ （等速主流）、 $g$ 常數：把讀法從 $0$ 加到 $T$ ， $x_T=x_0+cT+g\sum\sqrt h\varepsilon_n$ ，後面那個和是 $\mathcal N(0,g^2T)$ ，所以

x_T\sim\mathcal N\big(x_0+cT,\;g^2T\big).

$c=0.5$ 、 $g=0.3$ 、 $T=60$ ：均值 30 公尺、標準差 $0.3\sqrt{60}\approx2.3$ 公尺。這就是「晃一點」的大小。

展開細節這門課不用 Itô 積分，代價是什麼

上面的讀法有一個隱藏的選擇：噪聲強度 g 在每一步用的是步「起點」的值。當 g 只依賴 t，起點、中點或終點的 g 在 h → 0 時沒有差別。當 g 依賴 x（例如亂流在河中央比岸邊強），差別就出現了：用起點的 g(xₙ) 對應 Itô 的定義，用中點對應 Stratonovich 的定義，兩者的極限是不同的過程，差一個 ½ g ∂ₓg 的 drift。這門課只處理 g = g(t) 的情形，所以不需要區分；遇到 g(x) 時要另外學 Itô 引理 [1, 3]。另一個代價是我們沒有證明「h → 0 時分佈收斂」——這是本 class 最後一篇（M3.4）與 [4] 的內容。

直覺的骨架對了，數字補上了

起點問題的答案：一分鐘後葉子在下游約 30 公尺處，左右偏差的標準差約 2.3 公尺——95% 的葉子落在 $30\pm4.6$ 公尺內。直覺的「晃一點」沒錯，但它說不出 2.3 這個數字從哪來：來自 $g\sqrt T$ ，也就是 M3.0 的 $\sqrt t$ 規律。

這個判斷依賴的假設：亂流的推力是 Brownian 增量——每一瞬間 independent、Gaussian、variance 與時間成正比。以及 $g$ 不依賴位置。真實的河兩者都不完全成立：渦旋有大小，推力在一個渦旋的時間尺度內是相關的（那會像上一篇的 $\rho>0$ ，把有效的 $g$ 放大）；河中央的亂流比岸邊強（ $g$ 依賴 $x$ ，進入展開框裡說的 Itô 領域）。理論告訴你這兩件事會往哪個方向偏；偏多少，要靠實作。

模擬一次，再用錯誤的尺度模擬一次

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
def em(f, g, x0, T, h, trials=20000, noise_scale='sqrt'):
    x = np.full(trials, x0); N = int(round(T/h))
    for n in range(N):
        eps = rng.standard_normal(trials)
        step = np.sqrt(h) if noise_scale == 'sqrt' else h      # 正確 vs 錯誤的尺度
        x = x + h*f(x) + g*step*eps
    return x
for h in [1.0, 0.1, 0.01]:
    ok  = em(lambda x: 0.5, 0.3, 0.0, 60.0, h)
    bad = em(lambda x: 0.5, 0.3, 0.0, 60.0, h, noise_scale='h')
    print(h, round(ok.mean(),2), round(ok.std(),2), '| h-scaled std:', round(bad.std(),3))
# 均值 30.0、標準差 2.32，與 h 無關；用 h 當尺度時標準差 2.3 → 0.73 → 0.23，隨 h 消失

用 $\sqrt h$ 的結果與本例的 Gaussian 理論相符；改用 $h$ ，累積變異數則隨步長縮小而消失。若改成 stationary AR(1) 擾動、固定 $0<\rho<1$ ，離散增量就不是 independent Brownian increments。在適當極限下，它仍可能得到 Brownian 模型，但有效變異數會多出 $(1+\rho)/(1-\rho)$ 的因子，不能原封不動沿用原來的 $g$ ；若相關時間本身也隨 h 改變，更需重新分析。

檢查理解

想一想

SDE $dx=f\,dt+g\,dW$ 裡，若 $g$ 依賴位置 $x$ （河中央亂流較強），本篇的讀法「每步用起點的 $g(x_n)$ 」：

參考文獻

Särkkä, S., Solin, A. Applied Stochastic Differential Equations. Cambridge University Press, 2019.（第 2–4 章：SDE 的直覺讀法、Itô 與 Stratonovich 的差別、Euler–Maruyama。）
Higham, D. J. An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. SIAM Review 43(3), 2001.（用十幾行 MATLAB 建立 Brownian motion 與 Euler–Maruyama 的教學經典。）
Øksendal, B. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, 6th ed., 2003.（第 3–5 章：Itô 積分與 SDE 的嚴格定義——本課程刻意略過的部分。）
Kloeden, P. E., Platen, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, 1992.（第 9–10 章：Euler–Maruyama 的收斂性。）

同一條河，多了亂流

一條路變成一把扇子

讀法、模擬、以及為什麼是 h\sqrt hh​

直覺的骨架對了，數字補上了

模擬一次，再用錯誤的尺度模擬一次

檢查理解

參考文獻

讀法、模擬、以及為什麼是 $\sqrt h$