M3.0 醉漢一小時後在哪：Random Walk 到 Brownian Motion

一條長街，一個喝醉的人

深夜，一條筆直的長街。一個喝醉的人站在路燈下，每一秒鐘隨機往左或往右踏一步，一步一公尺，左右各半、跟上一步完全無關。一小時後，他大概離路燈多遠？

先用直覺回答，並寫下你有多確定、依據是什麼。常見的答案分兩派。一派說「一小時 3600 步，左右抵消，所以大概就在路燈附近，幾公尺內」；另一派說「總會偏向一邊，可能走了幾百公尺」。兩派都說不出自己為什麼對——而正確答案（大約 60 公尺）夾在兩派中間，而且有一個乾淨的規律：距離隨時間的平方根長。為什麼是平方根？這個規律什麼時候會失效？

課堂提問Q1

翻成數學。「每秒隨機一步」是什麼隨機變數？「一小時後的位置」是什麼？「大概離多遠」該用哪個量來衡量——為什麼不能直接算「平均位置」？

先想一想，再展開看整理後的答案

課堂上第一個答案通常是「算平均位置」，然後發現平均位置是 0（左右對稱），這顯然不是「大概多遠」的意思——他不會一直站在路燈下。

寫清楚：第 $i$ 秒的那一步是隨機變數 $\xi_i\in\{-1,+1\}$ ，各半機率，且 $\xi_1,\xi_2,\dots$ 彼此 independent（互不影響）。一小時後的位置是

S_n=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n,\qquad n=3600 .

$S_n$ 是隨機變數，這個過程叫 random walk（隨機漫步）。「大概多遠」問的不是 $\mathbb E[S_n]$ （它是 0），而是 $S_n$ 的散開程度：最方便的量是 variance $\mathrm{Var}(S_n)=\mathbb E[S_n^2]$ ，它的平方根 $\sqrt{\mathbb E[S_n^2]}$ ——均方根距離——才是「典型的離家距離」。

所以問題變成： $\mathrm{Var}(S_n)$ 怎麼隨 $n$ 長？

先看畫面：抵消的不是距離，是方向

想像把一小時的 3600 步分成兩段，各 1800 步。第一段走完他在某處，第二段從那裡重新開始。第二段有一半機率往回走、一半機率繼續往外——所以第二段平均而言既不把他帶遠、也不把他帶回。兩段合起來的距離，不是兩段距離相加（那是「一直往同一邊」才會有的事），也不是互相抵消（那是「第二段剛好反向」才會有的事），而是介於中間：像直角三角形的兩條邊，合起來的長度是平方和再開根號。

$n$ 段這樣「互相垂直」的小位移疊起來，總長度是 $\sqrt{n}$ 倍的單步長度。3600 步的平方根是 60——這就是 60 公尺的來源。

示意圖 · 規劃中一百個醉漢的軌跡與 √t 的包絡線

檔名：m3-stochastic-dynamics/imgs/m3-0-1.svg，16:9。
版面：橫軸時間 $t$ （0 到 3600 秒），縱軸位置。畫 100 條隨機漫步的軌跡（細線、半透明）。疊上兩條粗虛線 $\pm\sqrt t$ ，標「典型距離 $\sqrt t$ 」；再疊兩條淡色的直線 $\pm t$ ，標「若每步都同方向」——大部分軌跡貼在 $\pm\sqrt t$ 的包絡內，沒有任何一條靠近 $\pm t$ 。
右側一個窄格： $t=3600$ 時 100 個終點的直方圖（垂直），疊上 $\mathcal N(0,3600)$ 的密度曲線，標「60 m」的刻度。
角落小圖：兩段位移畫成直角三角形的兩邊，斜邊標 $\sqrt{a^2+b^2}$ ，小字「獨立的位移像垂直的邊」。
圖說：「獨立的步伐不會相加、也不會抵消，而是像垂直的邊一樣平方相加。3600 步之後典型距離是 $\sqrt{3600}=60$ 步，終點的分佈接近 Gaussian。」

寫成數學：variance 相加、極限、 $\sqrt h$

定理。 若 $\xi_1,\dots,\xi_n$ independent、 $\mathbb E[\xi_i]=0$ 、 $\mathrm{Var}(\xi_i)=\sigma^2$ ，則 $\mathbb E[S_n]=0$ 、 $\mathrm{Var}(S_n)=n\sigma^2$ 。

證明（五行）。展開平方：

\mathbb E[S_n^2]=\mathbb E\Big[\sum_i\xi_i^2+\sum_{i\ne j}\xi_i\xi_j\Big]=\sum_i\mathbb E[\xi_i^2]+\sum_{i\ne j}\mathbb E[\xi_i]\,\mathbb E[\xi_j]=n\sigma^2+0 .

第二個等號用了 independence： $\mathbb E[\xi_i\xi_j]=\mathbb E[\xi_i]\mathbb E[\xi_j]$ ；第三個等號用了 $\mathbb E[\xi_i]=0$ 。交叉項全部消失——這就是「垂直的邊」的代數版本。 $\square$

所以均方根距離是 $\sigma\sqrt n$ ；醉漢 $\sigma=1$ 、 $n=3600$ ，得 60 公尺。再加一個結論（中央極限定理，M1.0 那類 Gaussian 的加法）： $S_n/\sqrt n$ 的分佈在 $n$ 大時趨近 $\mathcal N(0,\sigma^2)$ ，不論單步的分佈是什麼，只要有限 variance。

取極限：Brownian motion。 現在把時間切細。每 $h$ 秒走一步，走到時刻 $t$ 需要 $t/h$ 步。若步長維持 $\delta$ ， $\mathrm{Var}=\delta^2 t/h$ ；要讓 $h\to0$ 時位置不退化（既不停在原地、也不爆到無限遠），必須讓 $\delta^2/h$ 維持常數——步長必須是 $\sqrt h$ 的尺度， $\delta=\sqrt h$ 。這樣極限下的過程 $W_t$ 有三個性質：

$W_0=0$ ， $W_t\sim\mathcal N(0,t)$ ；
增量獨立且平穩：對 $s<t$ ， $W_t-W_s\sim\mathcal N(0,t-s)$ ，且與 $W_s$ 之前的一切 independent；
軌跡 continuous。

這個極限叫 Brownian motion（或 Wiener process）[3]。性質 2 用一句話說就是：時間 $h$ 內的位移是一個 $\sqrt h\,\varepsilon$ ， $\varepsilon\sim\mathcal N(0,1)$ 。 這句話是下一篇模擬 SDE 的全部依據。

展開細節為什麼步長取 h 會讓一切消失、取常數會爆掉

步長 δ、步頻 1/h，走到時刻 t 的 variance 是 δ²·(t/h)。

δ = h（步長與時間同尺度，像等速前進）：variance = h·t → 0。極限是靜止不動——「隨機成分」在細分之下蒸發了。這也是為什麼把噪聲寫成「每步加 h·ε」是錯的。
δ = 常數：variance = δ²t/h → ∞。爆掉。
δ = √h：variance = t，有限且非零，且不依賴 h。只有這個尺度能活到極限。順帶一提，√h 尺度意味著 Brownian motion 的軌跡處處連續但處處不可微：位移 √h 除以時間 h 是 1/√h → ∞。「速度」不存在，所以下一篇的 SDE 不能寫成 ẋ = …，只能寫成增量的形式 dx = …。

回到長街：兩派都錯，錯在同一個地方

「幾公尺內」那一派隱含的假設是「左右抵消得很乾淨」——那是期望值的行為，不是典型值的行為；期望值是 0，但典型偏差是 60。「幾百公尺」那一派隱含的假設是「會偏向一邊」——那要求步伐相關（走了一步左就更可能再走左），與題目的獨立假設矛盾。

理論的判斷是：獨立、有限 variance 的步伐，典型距離是 $\sigma\sqrt n$ ，分佈接近 Gaussian。它依賴的假設就這兩個。而它們正是現實中會被違反的地方：真實的醉漢傾向沿著剛才的方向繼續走（步伐相關），這不會破壞 $\sqrt n$ ，但會把係數放大——相鄰兩步相關係數 $\rho$ 時，大 $n$ 下 $\mathrm{Var}(S_n)\approx n\sigma^2\tfrac{1+\rho}{1-\rho}$ ； $\rho=0.5$ 給 $60\sqrt3\approx104$ 公尺， $\rho=0.9$ 給約 260 公尺（推導見展開框）。若步長是重尾的（偶爾一步跳很遠，variance 無限），連 $\sqrt n$ 都會被打破，距離長得更快。

展開細節相關步伐的 variance（AR(1) 型的 ±1 步）

令每步以機率 (1+ρ)/2 與上一步同向、否則反向，則 E[ξᵢξᵢ₊ₖ] = ρ^k。 Var(Sₙ) = Σᵢ E[ξᵢ²] + 2Σᵢ<ⱼ E[ξᵢξⱼ] = n + 2Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ (n−k)ρ^k ≈ n[1 + 2ρ/(1−ρ)] = n(1+ρ)/(1−ρ)（大 n 時）。 ρ = 0 回到 n；ρ → 1（永遠同向）時因子發散，對應 Var ~ n² 的「等速前進」；ρ < 0（傾向折返）因子小於 1，走得比獨立更近。指數仍是 √n，改變的只是常數——除非 ρ 本身隨 n 趨近 1。

回到長街：模擬一次，再把假設弄壞

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
def walk(n=3600, rho=0.0, trials=5000):
    keep = rng.random((trials, n)) < (1+rho)/2       # 這一步是否沿用上一步的方向
    flips = np.where(keep, 1, -1); flips[:, 0] = 1
    steps = rng.choice([-1, 1], trials)[:, None] * np.cumprod(flips, axis=1)
    return np.sqrt(np.mean(steps.sum(axis=1)**2))       # 均方根距離
for rho in [0.0, 0.5, 0.9]:
    print(rho, round(walk(rho=rho)), round(60*np.sqrt((1+rho)/(1-rho))))
# 0.0: 60 對 60；0.5: 103 對 104；0.9: 257 對 262（模擬值隨種子略有變動）

獨立時模擬與 $\sqrt{3600}=60$ 吻合；加入相關，均方根距離按 $\sqrt{(1+\rho)/(1-\rho)}$ 放大，理論預測與模擬一致——而且指數仍是 $\tfrac12$ （把 $n$ 改成 14400 再跑，距離變兩倍）。最後把步長換成重尾分佈（例如 Cauchy），均方根距離會隨 trials 增加而不收斂：這時 variance 不存在， $\sqrt n$ 規律與 Gaussian 極限都失效。

互動 demo · 規劃中醉漢的 √t：改步頻、加相關、換重尾

位置：本節之後。檔名：m3-stochastic-dynamics/m3-0-1.html。
版面：左格畫 200 條軌跡（時間對位置），疊 $\pm c\sqrt t$ 包絡線與 $\pm t$ 參考線；右格是 log–log 的「時間 $t$ 對均方根距離」曲線，斜率 $\tfrac12$ 與 $1$ 的參考虛線。
控制項：滑桿「每步時間 $h$ 」（ $1,\,0.1,\,0.01$ 秒），並有三個互斥選項決定步長怎麼隨 $h$ 縮：「 $\delta=\sqrt h$ 」「 $\delta=h$ 」「 $\delta=1$ 不縮」；滑桿「相鄰步相關 $\rho\in[-0.9,0.9]$ 」；下拉「單步分佈」： $\pm1$ 、標準 Gaussian、Cauchy（重尾）。按鈕「重抽」。
行為： $\delta=\sqrt h$ 時不論 $h$ 多小，左格的包絡與右格的曲線完全不變（這就是極限存在）； $\delta=h$ 時 $h$ 越小軌跡越貼近零、右格曲線整體往下掉； $\delta=1$ 時軌跡爆開。拖 $\rho$ ：右格曲線斜率不變、整條平移，旁邊即時顯示因子 $\sqrt{(1+\rho)/(1-\rho)}$ 與實測比值。選 Cauchy：右格曲線斜率變成 $1$ 附近且隨重抽劇烈跳動，顯示「variance 不存在， $\sqrt t$ 失效」。
Hover 右格任一 $t$ ：顯示該時刻終點的直方圖小圖與疊上的 Gaussian，Cauchy 時 Gaussian 明顯不合。
底部觀察句：「觀察：獨立且 variance 有限的步伐，典型距離按 $\sqrt t$ 長，且只有步長取 $\sqrt h$ 的極限會存活。相關只改常數，重尾才改指數。」
匯出 PNG：兩格併成 16:9，含當前 $h$ 、 $\delta$ 規則、 $\rho$ 與單步分佈。

先消化一下

想一想

若醉漢每一步都強烈傾向沿著上一步的方向（相鄰步相關 $\rho=0.9$ ），一小時後的典型距離：

參考文獻

Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes. Oxford University Press, 3rd ed., 2001.（第 3 章 random walk；第 13 章 Brownian motion 的定義與性質。）
Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 3rd ed., 1968.（第 III 章：簡單 random walk 的組合與極限。）
Mörters, P., Peres, Y. Brownian Motion. Cambridge University Press, 2010.（第 1 章：Brownian motion 的存在、增量獨立、軌跡連續但不可微。）
Einstein, A. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik 17, 1905.（歷史出處：懸浮粒子的均方位移與時間成正比。）