M3.0 醉漢一小時後在哪：Random Walk 到 Brownian Motion

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M1.0兩台體重計：Gaussian 的線性組合

一條長街，一個喝醉的人

深夜，一條筆直的長街。一個喝醉的人站在路燈下，每一秒鐘隨機往左或往右踏一步，一步一公尺，左右各半、跟上一步完全無關。一小時後，他大概離路燈多遠？

左右有機會抵消，所以不能把 3600 步直接加成 3600 公尺。但也不會每次剛好回到路燈下。要怎麼描述這種「有時偏左、有時偏右」的距離？ 平均位置可能是零，散開程度卻不是零；先選對要計算的量，才能知道時間增加後會走多遠。

課堂提問Q1

翻成數學。「每秒隨機一步」是什麼隨機變數？「一小時後的位置」是什麼？「大概離多遠」該用哪個量來衡量——為什麼不能直接算「平均位置」？

先想一想，再展開看整理後的答案

課堂上第一個答案通常是「算平均位置」，然後發現平均位置是 0（左右對稱），這顯然不是「大概多遠」的意思——他不會一直站在路燈下。

寫清楚：第 $i$ 秒的那一步是隨機變數 $\xi_i\in\{-1,+1\}$ ，各半機率，且 $\xi_1,\xi_2,\dots$ 彼此 independent（互不影響）。一小時後的位置是

S_n=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n,\qquad n=3600 .

$S_n$ 是隨機變數，這個過程叫 random walk（隨機漫步）。「大概多遠」問的不是 $\mathbb E[S_n]$ （它是 0），而是 $S_n$ 的散開程度：最方便的量是 variance $\mathrm{Var}(S_n)=\mathbb E[S_n^2]$ ，它的平方根 $\sqrt{\mathbb E[S_n^2]}$ ——均方根距離——才是「典型的離家距離」。

所以問題變成： $\mathrm{Var}(S_n)$ 怎麼隨 $n$ 長？

抵消的不是距離，是方向

想像把一小時的 3600 步分成兩段，各 1800 步。第一段走完他在某處，第二段從那裡重新開始。第二段有一半機率往回走、一半機率繼續往外——所以第二段平均而言既不把他帶遠、也不把他帶回。兩段合起來的距離，不是兩段距離相加（那是「一直往同一邊」才會有的事），也不是互相抵消（那是「第二段剛好反向」才會有的事），而是介於中間：像直角三角形的兩條邊，合起來的長度是平方和再開根號。

這不是說一維的腳步真的互相垂直，而是期望中的交叉項會消失，留下平方和。3600 步的均方根距離是 60 公尺；它不是每次必走的距離，也不是平均絕對距離，後者在 Gaussian 近似下約為 $60\sqrt{2/\pi}\approx48$ 公尺。

一百個醉漢的軌跡與 √t 的包絡線

圖：獨立、有限 variance 的步伐在 √t 尺度內擴散；3600 步的終點標準差是 60，並逐漸接近 Gaussian。

variance 相加、極限、 $\sqrt h$

定理。 若 $\xi_1,\dots,\xi_n$ independent、 $\mathbb E[\xi_i]=0$ 、 $\mathrm{Var}(\xi_i)=\sigma^2$ ，則 $\mathbb E[S_n]=0$ 、 $\mathrm{Var}(S_n)=n\sigma^2$ 。

證明（五行）。展開平方：

\mathbb E[S_n^2]=\mathbb E\Big[\sum_i\xi_i^2+\sum_{i\ne j}\xi_i\xi_j\Big]=\sum_i\mathbb E[\xi_i^2]+\sum_{i\ne j}\mathbb E[\xi_i]\,\mathbb E[\xi_j]=n\sigma^2+0 .

第二個等號用了 independence： $\mathbb E[\xi_i\xi_j]=\mathbb E[\xi_i]\mathbb E[\xi_j]$ ；第三個等號用了 $\mathbb E[\xi_i]=0$ 。交叉項全部消失——這就是「垂直的邊」的代數版本。 $\square$

所以均方根距離是 $\sigma\sqrt n$ 。若腳步還是同分布的，就可使用 iid 的中央極限定理： $S_n/\sqrt n$ 趨近 $\mathcal N(0,\sigma^2)$ 。這是非 Gaussian 小步的極限結論，不是 Gaussian 加法封閉性；只有獨立、各自有限 variance，而沒有其他條件，不能直接套用這個版本。

取極限：Brownian motion。 現在把時間切細。每 $h$ 秒走一步，走到時刻 $t$ 需要 $t/h$ 步。若步長維持 $\delta$ ， $\mathrm{Var}=\delta^2 t/h$ ；要讓 $h\to0$ 時位置不退化（既不停在原地、也不爆到無限遠），必須讓 $\delta^2/h$ 維持常數——步長必須是 $\sqrt h$ 的尺度， $\delta=\sqrt h$ 。這樣極限下的過程 $W_t$ 有三個性質：

$W_0=0$ ， $W_t\sim\mathcal N(0,t)$ ；
增量獨立且平穩：對 $s<t$ ， $W_t-W_s\sim\mathcal N(0,t-s)$ ，且與 $W_s$ 之前的一切 independent；
軌跡 continuous。

這個極限叫 Brownian motion（或 Wiener process）[3]。性質 2 用一句話說就是：時間 $h$ 內的位移是一個 $\sqrt h\,\varepsilon$ ， $\varepsilon\sim\mathcal N(0,1)$ 。 這句話是下一篇模擬 SDE 的全部依據。

展開細節為什麼步長取 h 會讓一切消失、取常數會爆掉

步長 δ、步頻 1/h，走到時刻 t 的 variance 是 δ²·(t/h)。

δ = h（步長與時間同尺度，像等速前進）：variance = h·t → 0。極限是靜止不動——「隨機成分」在細分之下蒸發了。這也是為什麼把噪聲寫成「每步加 h·ε」是錯的。
δ = 常數：variance = δ²t/h → ∞。爆掉。
δ = √h：variance = t，有限且非零，且不依賴 h。只有這個尺度能活到極限。 √h 尺度提示了為什麼不能把增量除以 h 當成普通速度；但這個尺度觀察本身不是不可微的完整證明。Brownian motion 的軌跡幾乎必然連續且處處不可微，是另外的定理 [3]。因此下一篇會用增量與隨機積分，而不是普通的速度導數。

平均回到原點，不表示每次都回去

$\mathbb E[S_n]=0$ 與均方根距離 60 可以同時成立：一批人偏左、另一批人偏右，平均位置仍是原點。個別人也可能走到幾百公尺外，只是比較少見；不能由一次偏遠的結果，就推論腳步一定有相關。

若改成傾向沿上一步繼續走，就要重新計算交叉項。下面採用特定模型：初始方向左右各半，每步以 $(1+\rho)/2$ 的機率保持方向， $|\rho|<1$ ，因此相隔 $k$ 步的 covariance 是 $\sigma^2\rho^k$ 。此時大 $n$ 下 variance 約為 $n\sigma^2(1+\rho)/(1-\rho)$ ，仍是平方根尺度但係數改變。只知道相鄰兩步的相關係數，還不足以推出這個公式。 若 variance 不存在，則這裡的均方根量與 Gaussian 極限定理都不能直接使用。

展開細節相關步伐的 variance（AR(1) 型的 ±1 步）

令每步以機率 (1+ρ)/2 與上一步同向、否則反向，則 E[ξᵢξᵢ₊ₖ] = ρ^k。 Var(Sₙ) = Σᵢ E[ξᵢ²] + 2Σᵢ<ⱼ E[ξᵢξⱼ] = n + 2Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ (n−k)ρ^k ≈ n[1 + 2ρ/(1−ρ)] = n(1+ρ)/(1−ρ)（大 n 時）。 ρ = 0 回到 n；ρ → 1（永遠同向）時因子發散，對應 Var ~ n² 的「等速前進」；ρ < 0（傾向折返）因子小於 1，走得比獨立更近。指數仍是 √n，改變的只是常數——除非 ρ 本身隨 n 趨近 1。

模擬一次，再把假設弄壞

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
def walk(n=3600, rho=0.0, trials=5000):
    keep = rng.random((trials, n)) < (1+rho)/2       # 這一步是否沿用上一步的方向
    flips = np.where(keep, 1, -1); flips[:, 0] = 1
    steps = rng.choice([-1, 1], trials)[:, None] * np.cumprod(flips, axis=1)
    return np.sqrt(np.mean(steps.sum(axis=1)**2))       # 均方根距離
for rho in [0.0, 0.5, 0.9]:
    print(rho, round(walk(rho=rho)), round(60*np.sqrt((1+rho)/(1-rho))))
# 0.0: 60 對 60；0.5: 103 對 104；0.9: 257 對 262（模擬值隨種子略有變動）

獨立時模擬與 $\sqrt{3600}=60$ 吻合；加入相關，均方根距離按 $\sqrt{(1+\rho)/(1-\rho)}$ 放大，理論預測與模擬一致——而且指數仍是 $\tfrac12$ （把 $n$ 改成 14400 再跑，距離變兩倍）。最後把步長換成重尾分佈（例如 Cauchy），均方根距離會隨 trials 增加而不收斂：這時 variance 不存在， $\sqrt n$ 規律與 Gaussian 極限都失效。

檢查理解

想一想

若醉漢每一步都強烈傾向沿著上一步的方向（相鄰步相關 $\rho=0.9$ ），一小時後的典型距離：

參考文獻

Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes. Oxford University Press, 3rd ed., 2001.（第 3 章 random walk；第 13 章 Brownian motion 的定義與性質。）
Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 3rd ed., 1968.（第 III 章：簡單 random walk 的組合與極限。）
Mörters, P., Peres, Y. Brownian Motion. Cambridge University Press, 2010.（第 1 章：Brownian motion 的存在、增量獨立、軌跡連續但不可微。）
Einstein, A. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik 17, 1905.（歷史出處：懸浮粒子的均方位移與時間成正比。）