U6.1 改變出發時間或抵達時間，終點會怎麼變？

本篇重用3 篇

同一條路，可以從哪裡微分？

U6.0 已用 teacher 短段與合成規則訓練任意 $t\to s$ 。但完整 flow map 不只知道落點，也知道落點隨時間怎麼變。現在的問題是：能否將這些變化直接寫成學習訊號，減少取得完整 trajectory target 的成本？

沿用 $0$ 為噪聲、 $1$ 為資料， $\dot x_t=v_t(x_t)$ 。想像同一段車程：固定出發站，改問不同抵達時間的位置；或固定目的時間，換到同一路線較晚的站點出發。前者的答案會移動，後者的答案應保持不變。下面各自把動作翻成微分。

固定出發點，讓目的時間往前走

從 $(x,t)$ 出發， $\psi_{t\to s}(x)$ 就是 $s$ 時的 trajectory 位置。對 $s$ 微分，其變化率就是終點所在位置的速度：

\partial_s\psi_{t\to s}(x) =v_s\big(\psi_{t\to s}(x)\big).

左邊是 flow map 對目的時間的偏導，右邊在輸出位置查 velocity。這是追蹤粒子的 Lagrangian 關係。若有能在任意位置求值的 velocity teacher，就能把兩側差距寫成

\begin{aligned} \mathcal L_{\mathrm{Lag}} =\mathbb E\big[&\|\partial_sG_\theta(x_t,t\to s)\\ &-v_\phi(G_\theta(x_t,t\to s),s)\|^2\big]. \end{aligned}

這是一個具體的 teacher-based residual。Teacher 在這裡提供輸出點的局部方向，而不是先跑完整長段生成一筆終點標籤。

沿路換一個出發點，但目的時間固定

現在固定 $s$ ，讓 $x_t$ 沿同一條 ODE 移動。無論從這條路哪個站點出發，走到 $s$ 都到達同一位置，所以

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\psi_{t\to s}(x_t)=0.

將全導數用 chain rule 展開，就得到 Eulerian 關係：

\partial_t\psi_{t\to s}(x_t) +J_x\psi_{t\to s}(x_t)v_t(x_t)=0.

兩項分別是改變出發時間、改變出發位置帶來的影響。這次 velocity 在輸入位置 $x_t$ 。若輸入由 $I_t=(1-t)X_0+tX_1$ 抽出，我們手上就有它的 reference label $X_1-X_0$ ，其條件平均是 $v_t(x_t)$ 。

小心輸出位置也可能在 support 裡，為什麼仍不能直接用原配對？

問題不是「沒有任何 reference path 經過輸出位置」。真正缺的是：原本那份 $(X_0,X_1)$ 在給定模型輸出位置後，不一定具有正確的 posterior law。只有在自己合成的輸入 $I_t$ ，這筆配對才直接給出所需的條件速度估計。若另有解析 velocity、能正確抽取輸出點 posterior 的方法，或另訓局部模型，仍可能在輸出點取到速度；所以這不是「Lagrangian 在定義上必須有 pretrained teacher」的定理。

條件速度無偏，還要看它放在 loss 的哪裡

先令 $\tilde v=X_1-X_0$ ， $\delta=\tilde v-v_t(x_t)$ ，則 $\mathbb E[\delta\mid x_t]=0$ 。如果直接最小化

\mathbb E\|\partial_tG_\theta+J_xG_\theta\tilde v\|^2,

展開後會得到 oracle Eulerian squared residual，另加 $\mathbb E\|J_xG_\theta\delta\|^2$ 。額外項依賴線上 Jacobian，會改變學習問題。這與普通 FM 回歸不同：FM 的 random label 在固定輸入下的 variance 不含線上參數。

因此，想沿輸入點的條件速度從頭訓練，還需要像 U5.4 那樣，把含 velocity 的線性項放在固定的 stopped-gradient target 或更新裡。下一篇會用另一個輸出座標，把這個構造完整寫出來。

課堂提問Q1

Lagrangian 與 Eulerian 都是精確 flow 的關係。為什麼不能只看公式相同，就說它們有相同的從頭訓練方式？

先想一想，再展開看整理後的答案

因為公式需要的資訊不同。Lagrangian 在模型輸出位置要 $v_s$ ，Eulerian 在自己抽出的輸入位置要 $v_t$ ；reference 配對只直接提供後者的條件 label。而且「能估計 velocity」之後，還要檢查 discrepancy、微分與 stop-gradient 的配置，才能判斷代換是否保留 expected update。

所以我們依序問：要哪個位置的速度？手上怎麼取得它？把估計量代進去後，梯度是否仍是想要的那個？每一問都不能省。

不微分，直接要求兩段等於一段

還有 U6.0 的合成規則：

\psi_{t\to s}(x) =\psi_{u\to s}\big(\psi_{t\to u}(x)\big).

可以用兩個短跳的停止梯度結果監督一個長跳，這類構造稱為 progressive matching。式子不顯式出現 $v_t$ ，但不代表可以不提供動力學。所有 maps 都原地不動時，也滿足這條式子；teacher 短段或資料的局部 FM loss，才將它接回我們指定的 transport。

這三種描述在書 §11.6 並排整理，Flow Map Matching [1] 也用它們組織學習目標。它們刻畫同一個精確 flow，不代表實作 loss、所需資源與優化軌跡相同。

Lagrangian 改變目的時間，Eulerian 改變出發點，progressive 將同一路徑切成兩段。

圖：比較時先看 velocity 在哪個位置求值，再檢查如何取得訓練訊號。圖中 teacher 欄指本課程討論的常用蒸餾設定。

動作	精確關係	直接需要的訊號
移動目的時間	$\partial_s\psi=v_s(\psi)$	輸出點的 velocity
沿路移動出發點	$\partial_t\psi+J_x\psi\,v_t=0$	輸入點的 velocity
切成兩段	$\psi_{t\to s}=\psi_{u\to s}\circ\psi_{t\to u}$	中間 map 與局部動力學錨定

互動 demo：先用解析答案對照。 每個數字由目前參數重新計算；實際訓練結果另見實作程式。

消化一下

參考文獻

主要理論參考：The Principles of Diffusion Models，§11.6 的 Lagrangian、Eulerian 與 semigroup views；相關方法細節參照 Flow Map Matching。正文的符號沿用本課程；方法實作細節再對照下列原始論文。