M1.3 快篩陽性：Bayes 與 Posterior

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• M1.1從鞋子猜身高：Conditional Expectation

一條線

用一個假想的篩檢問題：盛行率是 1%，有病的人 95% 會驗出陽性（sensitivity），沒病的人 95% 會驗出陰性（specificity）。從這個人群隨機抽一個人，結果是陽性。這些數字只用來說明條件機率，不代表任何實際檢測。

你真的有病的機率是多少？

95% 說的是有病的人中多少會陽性；我們問的卻是陽性的人中多少有病。兩邊的分母不同。能不能先把兩種來源的陽性都數出來，再重新算比例？ 這個動作就是 Bayes 更新的核心。

課堂提問Q1

把情境翻成數學：隨機變數是什麼？「95% 準確」是哪個條件機率？「真的有病的機率」又是哪個？兩者為什麼不一樣？

先想一想，再展開看整理後的答案

最直覺的反應會把所有 95% 混在一起。先把物件分開。

兩個隨機變數：$D\in\{\text{有病},\text{沒病}\}$ 是你的真實狀態，$T\in\{+,-\}$ 是快篩結果。

題目給的三個數都是條件機率或邊際機率：

• 盛行率 $P(D=\text{有病})=0.01$——在看到任何檢測之前，隨機一個人有病的機率。
• Sensitivity $P(T=+\mid D=\text{有病})=0.95$——已知有病，驗出陽性的機率。
• Specificity $P(T=-\mid D=\text{沒病})=0.95$，等價地 $P(T=+\mid D=\text{沒病})=0.05$。

我們想知道的是 $P(D=\text{有病}\mid T=+)$——已知陽性，有病的機率。

看清楚就會發現直覺的錯在哪：它把 $P(T=+\mid D)$ 當成了 $P(D\mid T=+)$。這兩個條件機率方向相反：一個是「有病的人裡多少陽性」，一個是「陽性的人裡多少有病」。它們的分母不同——前者的分母是有病的人（很少），後者的分母是陽性的人（包含大量沒病卻誤判的人）。把方向反過來需要一個工具，那就是 Bayes 定理；而工具會告訴你，反過來時盛行率這個 1% 會進來，而且是主角。

一萬個人排成一排

暫時不用式子，直接數人。

一萬個人來篩檢。盛行率 1%：100 個有病、9,900 個沒病。

有病的 100 人裡，95% 陽性：95 個真陽性。沒病的 9,900 人裡，5% 誤判陽性：495 個假陽性。

拿到陽性的一共 $95+495=590$ 人。你是其中一個。其中真的有病的比例是

$$\frac{95}{590}\approx16\%.$$

畫面是這樣的：陽性那一排 590 人裡，有病的只佔一小段。原因不是檢測差——5% 的誤判率不高——而是沒病的人太多，5% 乘上 9,900 仍然是 495 人，把 95 個真陽性淹掉了。「準確率 95%」這句話讓你盯著檢測，忘了排隊的人裡有病的本來就只有 1%。

圖：posterior 不能只看測試準確度；低盛行率會產生大量假陽性。

把數人寫成式子

上面那段數人的過程，每一步都是一個機率的乘法或加法。寫成一般形式：

$$P(D\mid T)=\frac{P(T\mid D)\,P(D)}{P(T)},\qquad P(T)=\sum_{d}P(T\mid D=d)\,P(D=d).$$

這是 Bayes 定理。三個角色各有名字：

• $P(D)$ 是 prior——看到檢測之前你對真相的相信程度（盛行率 1%）。
• $P(T\mid D)$ 是 likelihood——假設某個真相成立，觀測到這個結果有多容易（有病時 0.95、沒病時 0.05）。
• $P(D\mid T)$ 是 posterior——看到結果之後，更新過的相信程度。

分母 $P(T)$ 是邊際機率：把「每種真相下出現這個結果的機率」按 prior 加權加起來，也就是 590/10,000。它的角色只是把分子正規化成加起來為 1；很多時候寫成「$\text{posterior}\propto\text{likelihood}\times\text{prior}$」就夠了。

代數字：$P(\text{有病}\mid+)=\dfrac{0.95\times0.01}{0.95\times0.01+0.05\times0.99}=\dfrac{0.0095}{0.0590}\approx0.161$。

展開細節odds 形式：為什麼「證據」是相乘的

把 posterior 寫成有病對沒病的比值（odds），分母 $P(T)$ 直接消掉：

$$\frac{P(\text{有病}\mid+)}{P(\text{沒病}\mid+)}=\frac{P(+\mid\text{有病})}{P(+\mid\text{沒病})}\times\frac{P(\text{有病})}{P(\text{沒病})} =\frac{0.95}{0.05}\times\frac{1}{99}=\frac{19}{99}.$$

odds $19:99$ 換回機率是 $19/118\approx0.161$。第一個因子 $19$ 叫 likelihood ratio：一次陽性把「有病」的 odds 放大 19 倍。prior odds 只有 $1:99$，放大 19 倍後仍不到 $1:5$——這就是「一個數量級」的來源。若再做一次獨立的檢測又陽性，再乘 19：odds $361:99$，機率 $\approx0.785$。

Posterior 是權重。 Bayes 給的不只是「有病的機率是 16%」這個數。它給的是對每一種可能真相的一組權重 $\{P(D=d\mid T=+)\}_d=\{0.161,\,0.839\}$，而任何「在看到結果之後對真相取平均」的動作，都用這組權重。例如「不治療的期望損失」是 $\sum_d(\text{損失}_d)\,P(D=d\mid+)$；M1.1 的 $\mathbb E[Y\mid X=x]=\sum_y y\,P(Y=y\mid X=x)$ 裡那個 $P(Y=y\mid X=x)$，當 $Y$ 是「看不見的真相」、$X$ 是「看得見的觀測」時，就是 posterior。連續的版本一字不改：$p(x\mid y)=p(y\mid x)p(x)/p(y)$，$p(y)=\int p(y\mid x)p(x)\,dx$，而 $\mathbb E[X\mid Y=y]=\int x\,p(x\mid y)\,dx$ 是用 posterior 當權重的加權平均。這是下一篇的地基。

如果真相不是「有病／沒病」，而是一個數？

快篩只有兩種真相，所以 posterior 就是兩個數字。但很多時候真相是一個連續的量——今天早上的真實體重、一張還沒被雜訊蓋住的原圖。這時最常用到的一組假設，是 prior 和 likelihood 都取 Gaussian：

$$p(x)=\mathcal N\big(x;\ \mu_0,\ \sigma_0^2\big),\qquad p(y\mid x)=\mathcal N\big(y;\ a x,\ \sigma^2\big).$$

讀法是：「真相 $x$ 大概在 $\mu_0$ 附近，不確定性是 $\sigma_0$」，而「觀測 $y$ 是 $x$ 放大 $a$ 倍再加一點雜訊」。分母 $p(y)$ 不含 $x$，所以配的時候它只是一個正規化常數。

動手自己配一次方：posterior 的平均與變異數會是什麼？

把分子的兩項乘起來，只看指數上與 $x$ 有關的部分：

$$p(x\mid y)\ \propto\ \exp\!\Big[-\frac{(y-ax)^2}{2\sigma^2}-\frac{(x-\mu_0)^2}{2\sigma_0^2}\Big].$$

方括號裡是 $x$ 的一個二次式。按次數收好：$x^2$ 的係數是 $-\tfrac12\big(\tfrac{a^2}{\sigma^2}+\tfrac{1}{\sigma_0^2}\big)$，$x$ 的係數是 $\tfrac{a y}{\sigma^2}+\tfrac{\mu_0}{\sigma_0^2}$。把它配成完全平方（配方法），剩下的常數項不含 $x$、可再次無視，對照 Gaussian 密度就讀得出平均與變異數。

方法本身可以直接記成：這裡乘除的是機率密度，不是隨機變數（兩個 Gaussian 隨機變數相乘不會是 Gaussian）。而 Gaussian 的密度是「$\exp$（一個 $x$ 的二次式）」，相乘相除只是把指數上的二次式加加減減，加減完還是二次式——所以「配出來還是 Gaussian」這件事不必逐次驗算，看指數是不是 $x$ 的二次式就知道。

配出來的 posterior 仍然是 Gaussian：

$$p(x\mid y)=\mathcal N\big(x;\ \mu_{\text{post}},\ \sigma_{\text{post}}^2\big),\qquad \frac{1}{\sigma_{\text{post}}^2}=\frac{a^2}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2},\qquad \mu_{\text{post}}=\sigma_{\text{post}}^2\Big(\frac{a\,y}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma_0^2}\Big).$$

變異數 $\sigma_{\text{post}}^2$ 完全不含 $y$。 看到的數字是多少，不影響剩下多少不確定性；只有兩邊各自的精確度（variance 的倒數 $1/\sigma^2$）決定它，而且兩個精確度是相加的——多一個觀測，不確定性一定變小。

平均 $\mu_{\text{post}}$ 是「prior 說的」與「觀測說的」的加權平均，權重就是各自的精確度。 把 $a=1$ 代進去看得最清楚：

$$\mu_{\text{post}}=\frac{\sigma_0^{-2}}{\sigma^{-2}+\sigma_0^{-2}}\,\mu_0+\frac{\sigma^{-2}}{\sigma^{-2}+\sigma_0^{-2}}\,y .$$

這正是 M1.0 那兩台體重計的 inverse-variance weighting，只是其中一台換成了 prior：prior 越尖（$\sigma_0$ 小）就越拉向 $\mu_0$，觀測越乾淨（$\sigma$ 小）就越拉向 $y$。

直覺什麼時候會對

結論。 全民篩檢中隨機被抽到、快篩陽性，有病的機率約 16%。直覺的 95% 錯在把 likelihood 當成 posterior，也就是隱含假設 prior 是 50/50——只有在「一半的人有病」時，$P(D\mid+)$ 才會等於 $P(+\mid D)$ 附近。

Prior 一變，答案就變。 保留假想檢測的條件機率，只改人群的 prior：

• 盛行率 10%：$\dfrac{0.095}{0.095+0.045}\approx68\%$。
• 盛行率 30%：$\dfrac{0.285}{0.285+0.035}\approx89\%$。

同一個 likelihood，在不同 prior 下會得到不同 posterior。因此不能只帶一個「檢測準不準」的數字就反推真相；也不能把一個人群的 prior 任意搬到另一群人。實際檢測還需要該人群適用的資料，這裡不從假想數字推導個人的醫療判斷。

重複觀測。 再乘同一個 likelihood ratio，需要兩次結果在給定真實狀態後條件獨立，不是兩次結果在整體上獨立。一般情況要用 $P(T_2\mid T_1,D)$ 更新。若第二次完全複製第一次，就沒有新資訊；有相關則不表示一定完全無用，要看新的條件機率，不能只憑「同款檢測」決定乘多少。

模擬一百萬人

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(3); n = 1_000_000
def screen(prev, sens=0.95, spec=0.95, second=None):
    sick = rng.random(n) < prev
    pos1 = np.where(sick, rng.random(n) < sens, rng.random(n) < 1-spec)
    if second is None: return sick[pos1].mean()
    if second == "indep":                                    # 第二次的錯誤與第一次獨立
        pos2 = np.where(sick, rng.random(n) < sens, rng.random(n) < 1-spec)
    else:                                                    # 沒病者的假陽性由同一個干擾物質造成：兩次結果相同
        pos2 = np.where(sick, rng.random(n) < sens, pos1)
    both = pos1 & pos2
    return sick[both].mean()
for prev in (0.01, 0.10, 0.30):
    print(f"盛行率 {prev:.0%}: 一次陽性 → 有病 {screen(prev):.1%}")
print(f"兩次陽性（獨立）  → {screen(0.01, second='indep'):.1%}")
print(f"兩次陽性（相關）  → {screen(0.01, second='corr'):.1%}")

前三行印出約 16%、68%、89%，與公式一致。最後兩行是重點：獨立時兩次陽性把機率推到約 78%，相關時留在約 15%（有病的人第二次仍有 5% 機率漏掉，沒病的假陽性卻一個都沒被剔除）——第二次檢測白做。

檢查理解

想一想

一封信被垃圾郵件過濾器標成「垃圾」。過濾器對垃圾信的偵測率 99%、對正常信的誤判率 1%。你收到的信裡有 20% 是垃圾信。這封信真的是垃圾信的機率約是： 99%。 約 96%——$\dfrac{0.99\times0.2}{0.99\times0.2+0.01\times0.8}=\dfrac{0.198}{0.206}$。 約 20%。

看解答

想一想

承快篩的例子（盛行率 1%）。你第一次陽性後，同一天用同一款快篩再測一次，又陽性。下列哪個敘述最合理？ 兩次陽性，機率一定升到約 78%。 第二次陽性沒有任何意義，因為是同一款。 給定真實狀態後條件獨立時，才可再乘同一個 likelihood ratio；否則需要兩次結果的 joint model，不能直接給固定答案。

看解答

想一想

「posterior 是加權平均的權重」這句話在說什麼？ posterior 的數值一定介於 prior 與 likelihood 之間。 看到觀測之後，任何對「看不見的真相」取平均的動作——期望損失、conditional expectation——都以 $P(\text{真相}\mid\text{觀測})$ 當權重。 posterior 是 prior 與 likelihood 的算術平均。

看解答

參考文獻

1. Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes, 3rd ed. Oxford University Press 2001.（條件機率、Bayes 定理、全機率公式。）
2. Gigerenzer, G., Hoffrage, U. How to Improve Bayesian Reasoning Without Instruction: Frequency Formats. Psychological Review 1995.（「一萬個人」的自然頻率表示為什麼比機率表示更不容易算錯；醫療篩檢的實驗。）
3. Blitzstein, J. K., Hwang, J. Introduction to Probability, 2nd ed. CRC Press 2019, Ch. 2.（條件機率、Bayes 定理、odds 形式與檢測例題。）