M1.3 快篩陽性：Bayes 與 Posterior

起點：一條線

某種疾病在一般人口的盛行率是 1%。有一種快篩：有病的人 95% 會驗出陽性（sensitivity），沒病的人 95% 會驗出陰性（specificity）。你在一次全民篩檢裡被抽到，結果：陽性。

你真的有病的機率是多少？

寫下你的數字與確定程度。在課堂上、甚至在醫學生的調查裡，最常見的答案是「95%」或「差不多九成」。

正確答案大約是 16%。不是 95%，也不是 50%——差了一個數量級。這不是腦筋急轉彎，也不是題目有陷阱；它是「有一個數字太小而被忽略」的典型例子。這一篇要把「忽略了什麼」變成一條可以檢查的式子，然後回來看：直覺什麼時候會接近對。

課堂提問Q1

把情境翻成數學：隨機變數是什麼？「95% 準確」是哪個條件機率？「真的有病的機率」又是哪個？兩者為什麼不一樣？

先想一想，再展開看整理後的答案

最直覺的反應會把所有 95% 混在一起。先把物件分開。

兩個隨機變數： $D\in\{\text{有病},\text{沒病}\}$ 是你的真實狀態， $T\in\{+,-\}$ 是快篩結果。

題目給的三個數都是條件機率或邊際機率：

盛行率 $P(D=\text{有病})=0.01$ ——在看到任何檢測之前，隨機一個人有病的機率。
Sensitivity $P(T=+\mid D=\text{有病})=0.95$ ——已知有病，驗出陽性的機率。
Specificity $P(T=-\mid D=\text{沒病})=0.95$ ，等價地 $P(T=+\mid D=\text{沒病})=0.05$ 。

我們想知道的是 $P(D=\text{有病}\mid T=+)$ ——已知陽性，有病的機率。

看清楚就會發現直覺的錯在哪：它把 $P(T=+\mid D)$ 當成了 $P(D\mid T=+)$ 。這兩個條件機率方向相反：一個是「有病的人裡多少陽性」，一個是「陽性的人裡多少有病」。它們的分母不同——前者的分母是有病的人（很少），後者的分母是陽性的人（包含大量沒病卻誤判的人）。把方向反過來需要一個工具，那就是 Bayes 定理；而工具會告訴你，反過來時盛行率這個 1% 會進來，而且是主角。

一萬個人排成一排

暫時不用式子，直接數人。

一萬個人來篩檢。盛行率 1%：100 個有病、9,900 個沒病。

有病的 100 人裡，95% 陽性：95 個真陽性。沒病的 9,900 人裡，5% 誤判陽性：495 個假陽性。

拿到陽性的一共 $95+495=590$ 人。你是其中一個。其中真的有病的比例是

\frac{95}{590}\approx16\%.

畫面是這樣的：陽性那一排 590 人裡，有病的只佔一小段。原因不是檢測差——5% 的誤判率不高——而是沒病的人太多，5% 乘上 9,900 仍然是 495 人，把 95 個真陽性淹掉了。「準確率 95%」這句話讓你盯著檢測，忘了排隊的人裡有病的本來就只有 1%。

示意圖 · 規劃中一萬個人的篩檢：陽性的人裡有多少真的有病

檔名：m1-probability/imgs/m1-3-1.svg（16:9）。
左半： $100\times100$ 的小方格陣列代表一萬人。有病的 100 格（左上角一小塊）著深色，沒病的 9,900 格淺色。在每一塊裡把「驗出陽性」的格子打上一個 $+$ 記號：深色塊裡 95 格有 $+$ ，淺色塊裡 495 格有 $+$ （隨機散佈）。
右半：只把有 $+$ 的格子抽出來排成一排（590 格），深色 95 格集中在左端、淺色 495 格在右。上方一個大括號寫「陽性的人」，深色段上方標 $95/590\approx16\%$ 。
底部一行：「sensitivity 與 specificity 說的是每一塊裡打 $+$ 的比例；你想知道的是打了 $+$ 的那一排裡深色的比例。分母不同。」
圖說：「95% 的準確率沒有錯；錯的是忘了淺色那一塊有 9,900 人，5% 就是 495 個假陽性。」

把數人寫成式子

上面那段數人的過程，每一步都是一個機率的乘法或加法。寫成一般形式：

P(D\mid T)=\frac{P(T\mid D)\,P(D)}{P(T)},\qquad P(T)=\sum_{d}P(T\mid D=d)\,P(D=d).

這是 Bayes 定理。三個角色各有名字：

$P(D)$ 是 prior——看到檢測之前你對真相的相信程度（盛行率 1%）。
$P(T\mid D)$ 是 likelihood——假設某個真相成立，觀測到這個結果有多容易（有病時 0.95、沒病時 0.05）。
$P(D\mid T)$ 是 posterior——看到結果之後，更新過的相信程度。

分母 $P(T)$ 是邊際機率：把「每種真相下出現這個結果的機率」按 prior 加權加起來，也就是 590/10,000。它的角色只是把分子正規化成加起來為 1；很多時候寫成「 $\text{posterior}\propto\text{likelihood}\times\text{prior}$ 」就夠了。

代數字： $P(\text{有病}\mid+)=\dfrac{0.95\times0.01}{0.95\times0.01+0.05\times0.99}=\dfrac{0.0095}{0.0590}\approx0.161$ 。

展開細節odds 形式：為什麼「證據」是相乘的

把 posterior 寫成有病對沒病的比值（odds），分母 $P(T)$ 直接消掉：

\frac{P(\text{有病}\mid+)}{P(\text{沒病}\mid+)}=\frac{P(+\mid\text{有病})}{P(+\mid\text{沒病})}\times\frac{P(\text{有病})}{P(\text{沒病})} =\frac{0.95}{0.05}\times\frac{1}{99}=\frac{19}{99}.

odds $19:99$ 換回機率是 $19/118\approx0.161$ 。第一個因子 $19$ 叫 likelihood ratio：一次陽性把「有病」的 odds 放大 19 倍。prior odds 只有 $1:99$ ，放大 19 倍後仍不到 $1:5$ ——這就是「一個數量級」的來源。若再做一次獨立的檢測又陽性，再乘 19：odds $361:99$ ，機率 $\approx0.785$ 。

Posterior 是權重。 Bayes 給的不只是「有病的機率是 16%」這個數。它給的是對每一種可能真相的一組權重 $\{P(D=d\mid T=+)\}_d=\{0.161,\,0.839\}$ ，而任何「在看到結果之後對真相取平均」的動作，都用這組權重。例如「不治療的期望損失」是 $\sum_d(\text{損失}_d)\,P(D=d\mid+)$ ；M1.1 的 $\mathbb E[Y\mid X=x]=\sum_y y\,P(Y=y\mid X=x)$ 裡那個 $P(Y=y\mid X=x)$ ，當 $Y$ 是「看不見的真相」、 $X$ 是「看得見的觀測」時，就是 posterior。連續的版本一字不改： $p(x\mid y)=p(y\mid x)p(x)/p(y)$ ， $p(y)=\int p(y\mid x)p(x)\,dx$ ，而 $\mathbb E[X\mid Y=y]=\int x\,p(x\mid y)\,dx$ 是用 posterior 當權重的加權平均。這是下一篇的地基。

如果真相不是「有病／沒病」，而是一個數？

快篩只有兩種真相，所以 posterior 就是兩個數字。但很多時候真相是一個連續的量——今天早上的真實體重、一張還沒被雜訊蓋住的原圖。這時最常用到的一組假設，是 prior 和 likelihood 都取 Gaussian：

p(x)=\mathcal N\big(x;\ \mu_0,\ \sigma_0^2\big),\qquad p(y\mid x)=\mathcal N\big(y;\ a x,\ \sigma^2\big).

讀法是：「真相 $x$ 大概在 $\mu_0$ 附近，不確定性是 $\sigma_0$ 」，而「觀測 $y$ 是 $x$ 放大 $a$ 倍再加一點雜訊」。分母 $p(y)$ 不含 $x$ ，所以配的時候它只是一個正規化常數。

動手自己配一次方：posterior 的平均與變異數會是什麼？

把分子的兩項乘起來，只看指數上與 $x$ 有關的部分：

p(x\mid y)\ \propto\ \exp\!\Big[-\frac{(y-ax)^2}{2\sigma^2}-\frac{(x-\mu_0)^2}{2\sigma_0^2}\Big].

方括號裡是 $x$ 的一個二次式。按次數收好： $x^2$ 的係數是 $-\tfrac12\big(\tfrac{a^2}{\sigma^2}+\tfrac{1}{\sigma_0^2}\big)$ ， $x$ 的係數是 $\tfrac{a y}{\sigma^2}+\tfrac{\mu_0}{\sigma_0^2}$ 。把它配成完全平方（配方法），剩下的常數項不含 $x$ 、可再次無視，對照 Gaussian 密度就讀得出平均與變異數。

值得把方法本身記起來：這裡乘除的是機率密度，不是隨機變數（兩個 Gaussian 隨機變數相乘不會是 Gaussian）。而 Gaussian 的密度是「 $\exp$ （一個 $x$ 的二次式）」，相乘相除只是把指數上的二次式加加減減，加減完還是二次式——所以「配出來還是 Gaussian」這件事不必逐次驗算，看指數是不是 $x$ 的二次式就知道。

配出來的 posterior 仍然是 Gaussian：

p(x\mid y)=\mathcal N\big(x;\ \mu_{\text{post}},\ \sigma_{\text{post}}^2\big),\qquad \frac{1}{\sigma_{\text{post}}^2}=\frac{a^2}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma_0^2},\qquad \mu_{\text{post}}=\sigma_{\text{post}}^2\Big(\frac{a\,y}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\sigma_0^2}\Big).

變異數 $\sigma_{\text{post}}^2$ 完全不含 $y$ 。 看到的數字是多少，不影響剩下多少不確定性；只有兩邊各自的精確度（variance 的倒數 $1/\sigma^2$ ）決定它，而且兩個精確度是相加的——多一個觀測，不確定性一定變小。

平均 $\mu_{\text{post}}$ 是「prior 說的」與「觀測說的」的加權平均，權重就是各自的精確度。 把 $a=1$ 代進去看得最清楚：

\mu_{\text{post}}=\frac{\sigma_0^{-2}}{\sigma^{-2}+\sigma_0^{-2}}\,\mu_0+\frac{\sigma^{-2}}{\sigma^{-2}+\sigma_0^{-2}}\,y .

這正是 M1.0 那兩台體重計的 inverse-variance weighting，只是其中一台換成了 prior：prior 越尖（ $\sigma_0$ 小）就越拉向 $\mu_0$ ，觀測越乾淨（ $\sigma$ 小）就越拉向 $y$ 。

回到情境：直覺什麼時候會對

結論。 全民篩檢中隨機被抽到、快篩陽性，有病的機率約 16%。直覺的 95% 錯在把 likelihood 當成 posterior，也就是隱含假設 prior 是 50/50——只有在「一半的人有病」時， $P(D\mid+)$ 才會等於 $P(+\mid D)$ 附近。

Prior 一變，答案就變。 同一支快篩，換一個排隊的人群：

盛行率 10%（例如疫情高峰的某個社區）： $\dfrac{0.095}{0.095+0.045}\approx68\%$ 。
盛行率 30%（例如因為有症狀才來篩的人）： $\dfrac{0.285}{0.285+0.035}\approx89\%$ 。

所以「陽性就是九成有病」在門診裡其實不算離譜——有症狀這件事已經把 prior 推高了。直覺不是無中生有，它是在對另一個 prior 回答；錯的是把門診的經驗搬到全民篩檢上。這個判斷依賴的假設：prior 要用「你屬於的那群人」的盛行率；sensitivity／specificity 要適用於這群人與這種檢測方式。

重複檢測。 odds 形式說第二次陽性再乘 19、機率到 78%——但這假設兩次檢測的錯誤獨立。如果第一次假陽性的原因是你體內某個持續存在的干擾物質，第二次也會因為同一個原因陽性，第二次的結果沒有新資訊，posterior 停在 16%。這是 Bayes 最常被誤用的地方之一：把相關的證據當成獨立的，一直乘下去。

回到情境：模擬一百萬人

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(3); n = 1_000_000
def screen(prev, sens=0.95, spec=0.95, second=None):
    sick = rng.random(n) < prev
    pos1 = np.where(sick, rng.random(n) < sens, rng.random(n) < 1-spec)
    if second is None: return sick[pos1].mean()
    if second == "indep":                                    # 第二次的錯誤與第一次獨立
        pos2 = np.where(sick, rng.random(n) < sens, rng.random(n) < 1-spec)
    else:                                                    # 沒病者的假陽性由同一個干擾物質造成：兩次結果相同
        pos2 = np.where(sick, rng.random(n) < sens, pos1)
    both = pos1 & pos2
    return sick[both].mean()
for prev in (0.01, 0.10, 0.30):
    print(f"盛行率 {prev:.0%}: 一次陽性 → 有病 {screen(prev):.1%}")
print(f"兩次陽性（獨立）  → {screen(0.01, second='indep'):.1%}")
print(f"兩次陽性（相關）  → {screen(0.01, second='corr'):.1%}")

前三行印出約 16%、68%、89%，與公式一致。最後兩行是重點：獨立時兩次陽性把機率推到約 78%，相關時留在約 15%（有病的人第二次仍有 5% 機率漏掉，沒病的假陽性卻一個都沒被剔除）——第二次檢測白做。

互動 demo · 規劃中拖盛行率、拖準確率、再測一次：posterior 怎麼動

位置：本節之後。檔名：site/public/notes/research_areas/mathematical-foundations/m1-probability/m1-3-2.html。這是本篇的核心互動。
版面：左格是 $100\times100$ 的人口方格（對應靜態圖），依當前參數即時重畫有病／沒病與 $+$ 記號；右格上方是「陽性的人那一排」的長條（深淺兩段，標出 posterior 的百分比），右格下方是一條曲線：posterior 對盛行率（橫軸對數， $0.1\%$ – $50\%$ ），一個游標標出目前的盛行率。
控制項：滑桿「盛行率」（ $0.1\%$ – $50\%$ ）、「sensitivity」、「specificity」（各 $50\%$ – $99.9\%$ ）；開關「用 odds 顯示」：右上改成 prior odds × likelihood ratio ＝ posterior odds 的算式；按鈕「再測一次（獨立）」：對陽性的人再做一次，長條更新為兩次皆陽性者的組成；按鈕「再測一次（相關：假陽性者必再陽性）」：長條幾乎不變並標紅「沒有新資訊」；按鈕「重置」。
Hover 右下曲線任一點顯示該盛行率下的 posterior，並在曲線上標出「posterior $=$ sensitivity」發生的盛行率（約 50%）——直覺答案正確的地方。
底部觀察句：「觀察：posterior $\propto$ likelihood × prior。同一支快篩，prior 從 1% 拉到 30%，陽性後有病的機率從 16% 變成 89%。重複檢測只有在錯誤獨立時才能一直乘。」
匯出 PNG：兩格併成 16:9，含當前參數。

先消化一下

想一想

承快篩的例子（盛行率 1%）。你第一次陽性後，同一天用同一款快篩再測一次，又陽性。下列哪個敘述最合理？

想一想

「posterior 是加權平均的權重」這句話在說什麼？

參考文獻

Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes, 3rd ed. Oxford University Press 2001.（條件機率、Bayes 定理、全機率公式。）
Gigerenzer, G., Hoffrage, U. How to Improve Bayesian Reasoning Without Instruction: Frequency Formats. Psychological Review 1995.（「一萬個人」的自然頻率表示為什麼比機率表示更不容易算錯；醫療篩檢的實驗。）
Blitzstein, J. K., Hwang, J. Introduction to Probability, 2nd ed. CRC Press 2019, Ch. 2.（條件機率、Bayes 定理、odds 形式與檢測例題。）