M4.3 影片倒著播看得出來嗎：Time Reversal 與比值

本篇重用M4.2電話隨時會響：Continuous-Time Markov Chain 與 Rate Matrix·M1.3快篩陽性：Bayes 與 Posterior

一段沒有標時間的影片

有人給你一段縮時影片：同一個城市的天空，每天一格，連續兩年，只看得出「晴」「多雲」「雨」三種天。影片沒有日期、沒有聲音、沒有任何會洩漏方向的東西（沒有太陽東升西落，因為每天只有一格）。他問你：這段影片是正著播還是倒著播？

請先用直覺回答，並寫下你有多確定：

你覺得有辦法分辨嗎？依據是什麼？
如果把天氣簡化成只有「晴」「雨」兩種，你的答案會變嗎？

課堂上的回答分成兩派。一派說「不可能，天氣是隨機的，隨機的東西倒過來還是隨機的」；另一派說「可以，天氣有慣性，倒著播會看到不自然的轉變」。兩派都說不清楚「不自然」到底指什麼、以及為什麼兩種天的版本和三種天的版本可能不一樣。這一篇要把「倒著播」本身寫成數學，答案會自己掉出來。

課堂提問Q1

「倒著播」在數學上是什麼？如果正著播是一條 Markov chain $X_t$ ，倒過來的 $Y_s=X_{T-s}$ 還是 Markov chain 嗎？它的 rate 是什麼？

先想一想，再展開看整理後的答案

課堂上第一個反應通常是「倒過來就不是 Markov 了，因為它要知道未來」。這是錯的，而且錯得很有啟發性。Markov property 說「給了現在，過去與未來獨立」——這句話對過去與未來是對稱的。所以倒過來的過程 $Y_s$ 也是 Markov chain：給了 $Y_s=X_{T-s}$ ，它的「未來」（就是 $X$ 的過去）與它的「過去」（ $X$ 的未來）獨立。

真正會變的是 rate。正著播的 rate $R(x,y)$ 回答「現在在 $x$ ，下一瞬間跳到 $y$ 的傾向」；倒著播要回答的是「現在在 $x$ ，上一瞬間在 $y$ 的傾向」——這是一個「從結果推原因」的問題，是 M1.3 的形狀：已知 $X_{t+dt}=x$ ，問 $X_t=y$ 的 posterior。所以倒著播的 rate 會是一個 posterior，而 posterior 裡一定有先驗除以證據——這就是比值 $p_t(y)/p_t(x)$ 的來源。要算的量是這個 posterior 對 $dt$ 的斜率。

先抓住這個畫面

想像一條很長的走廊，兩端各有一個房間：左邊「晴」、右邊「雨」。人群在兩個房間之間來回走。正著看，你數的是「每分鐘從晴走到雨的人數」；倒著看，同一批腳步變成「從雨走到晴」。如果兩個方向的人流一樣多，倒帶之後什麼都沒變——你看到的仍然是同樣多的人往兩邊走，分不出方向。

如果房間有三個、而且人群傾向繞圈——晴→多雲→雨→晴——正著看是順時鐘，倒著看變成逆時鐘。這時你分得出來，因為存在一股淨環流。分辨影片方向的能力，就是偵測淨環流的能力。這個畫面已經暗示：兩種天的世界裡，兩個房間之間長期的人流必然相等（不然有一邊會越來越擠），所以分不出來；三種天的世界裡可以繞圈，所以可能分得出來。

把畫面寫成公式

四行 Bayes

令 $X_t$ 是一條 rate matrix 為 $R$ 的 CTMC（M4.2）， $p_t$ 是它在時刻 $t$ 的分佈。固定一個很短的 $dt$ 、兩個不同的狀態 $x\ne y$ 。倒著播的 rate 要問：已知時刻 $t+dt$ 在 $x$ ，時刻 $t$ 在 $y$ 的機率是多少？Bayes 定理：

\Pr(X_t=y\mid X_{t+dt}=x) =\frac{\Pr(X_{t+dt}=x\mid X_t=y)\;p_t(y)}{p_{t+dt}(x)} \approx\frac{R(y,x)\,dt\;p_t(y)}{p_t(x)} .

第二步用了 $\Pr(X_{t+dt}=x\mid X_t=y)\approx R(y,x)\,dt$ （rate 的定義）與 $p_{t+dt}(x)\approx p_t(x)$ 。把 $dt$ 除掉，得到倒著播的 rate：

\boxed{\;\hat R_t(x,y)=R(y,x)\,\frac{p_t(y)}{p_t(x)}\;}\qquad(x\ne y),

對角線照例補成讓每列和為 0。三個成分各有名字： $R(y,x)$ 是正向從 $y$ 到 $x$ 的 rate（likelihood）； $p_t(y)$ 是上一瞬間在 $y$ 的先驗； $p_t(x)$ 是現在在 $x$ 的證據。比值出現的原因就是 Bayes 的形狀：要從「現在在 $x$ 」倒推「剛才在 $y$ 」，得看 $y$ 本來有多可能、以及從 $y$ 過來有多容易，再除以「到 $x$ 的所有路徑」。

注意兩件事。第一， $\hat R_t$ 一般依賴 $t$ ，即使 $R$ 不依賴——因為 $p_t$ 在變。第二，只有 $R(y,x)>0$ 的方向倒著播才會有 rate：正向不可能發生的跳躍，倒向也不可能。

什麼時候倒著播看不出來

若 chain 已在 stationary distribution $\pi$ （ $p_t=\pi$ 對所有 $t$ ）， $\hat R(x,y)=R(y,x)\pi(y)/\pi(x)$ 不再依賴 $t$ 。倒著播與正著播規律完全相同的條件是 $\hat R=R$ ，即

\pi(x)\,R(x,y)=\pi(y)\,R(y,x)\quad\text{對所有 }x\ne y .

這叫 detailed balance：每一對狀態之間，兩個方向的機率流量相等。滿足它的 chain 叫 reversible。對照 stationary 的條件 $\pi R=0$ ——那只要求每個狀態的總流入等於總流出（global balance）；detailed balance 要求每一對之間各自平衡，是更強的條件。走廊裡的畫面就是這件事：三個房間可以「總進出平衡」但「順時鐘多於逆時鐘」。

2 狀態一定 reversible。 $\pi R=0$ 只有一條獨立方程 $\pi(\text{S})R(\text{S},\text{R})=\pi(\text{R})R(\text{R},\text{S})$ ，它本身就是 detailed balance。所以只有晴雨兩種天的 stationary 影片，任何方法都分不出方向——第二個直覺問題的答案是「會變：兩種天分不出，三種天可能分得出」。

3 狀態繞圈的例子。 令 S→C、C→R、R→S 的 rate 都是 1，反方向都是 $\varepsilon$ 。由對稱性 $\pi=(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13)$ 。倒著播的 rate 是 $\hat R(x,y)=R(y,x)$ ：順時鐘的 rate 變成 $\varepsilon$ 、逆時鐘變成 1。 $\varepsilon=1$ 時 $\hat R=R$ （detailed balance 成立，分不出）； $\varepsilon\ll1$ 時影片正著播幾乎只看到 S→C→R→S，倒著播幾乎只看到 S→R→C→S——數一數「晴之後接多雲」與「多雲之後接晴」哪個多，就知道方向。

展開細節倒著播的 chain 確實把分佈倒著走回去；離散時間版本；Kolmogorov 的環路判準

驗證。 令 $q_s=p_{T-s}$ 是倒著播的分佈。它應滿足倒著播的 forward equation $\dot q_s=q_s\hat R_{T-s}$ 。直接算： $(q_s\hat R_{T-s})(y)=\sum_{x\ne y}\big[p_t(x)\hat R_t(x,y)-p_t(y)\hat R_t(y,x)\big]$ （ $t=T-s$ ），代入 $\hat R_t(x,y)=R(y,x)p_t(y)/p_t(x)$ 得 $\sum_{x\ne y}\big[p_t(y)R(y,x)-p_t(x)R(x,y)\big]=-\dot p_t(y)=\dot q_s(y)$ 。成立。

離散時間。 同一個 Bayes 計算對每日一步的 chain 給 $\hat P_n(x,y)=P(y,x)\,p_n(y)/p_{n+1}(x)$ ；stationary 時 $\hat P(x,y)=\pi(y)P(y,x)/\pi(x)$ ，detailed balance 是 $\pi(x)P(x,y)=\pi(y)P(y,x)$ 。

不用先算 $\pi$ 的判準。 Kolmogorov 判準：一條 irreducible chain 是 reversible，若且唯若對每一個環路 $x_1\to x_2\to\cdots\to x_k\to x_1$ ，順著走的 rate 乘積等於反著走的乘積。對上面的三角形：順時鐘 $1\cdot1\cdot1$ vs 逆時鐘 $\varepsilon^3$ ，只在 $\varepsilon=1$ 時相等。見 Kelly [1] 第 1 章。

回頭看那兩派直覺

理論的判斷。 「隨機的東西倒過來還是隨機」這一派，在兩種天、且影片已經在 stationary 的情況下是對的——而且是嚴格對的：倒著播的過程與正著播有相同的法則，沒有任何統計量能分辨。但理由不是「隨機」，是 detailed balance；三種天一旦有淨環流，同樣隨機，卻分得出來。「有慣性所以看得出不自然」這一派，把重點放錯了：慣性（停留久）在倒帶後仍是慣性，看得出來的是環流方向，不是慣性。

依賴的假設與失準處。 上面「分不出」的結論依賴 stationary。若影片從一個特別的起點開始——例如整段影片是從一場罕見的連續大雨之後開始錄的， $p_0$ 遠離 $\pi$ ——那麼 $\hat R_t$ 依賴 $t$ ：倒著播時，接近影片起點的那些天會有異常的轉變速率（ $p_t(y)/p_t(x)$ 在 $p_t(x)$ 很小時很大），即使 chain 本身 reversible 也看得出來。具體地，2 狀態、從全晴出發、S→R rate $0.2$ 、R→S rate $0.4$ （每天）： $p_t(\text{R})=\tfrac13(1-e^{-0.6t})$ ，倒著播的 R→S rate 是 $0.2\,p_t(\text{S})/p_t(\text{R})$ ，在 $t\to0$ 時像 $1/t$ 一樣爆掉——倒帶影片裡靠近起點的雨天會「不自然地」立刻放晴，因為它們必須在時刻 0 回到晴。

動手跑一次

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
eps, T = 0.2, 200_000                       # 三角形：順時鐘 rate 1、逆時鐘 eps
R = np.array([[-(1+eps), 1, eps], [eps, -(1+eps), 1], [1, eps, -(1+eps)]])
x, path = 0, []
for _ in range(T):                          # 只記錄跳到哪（embedded chain 即可）
    rates = R[x].copy(); rates[x] = 0
    x = rng.choice(3, p=rates / rates.sum()); path.append(x)
path = np.array(path)
cw  = np.mean((path[1:] - path[:-1]) % 3 == 1)   # 順時鐘跳的比例
print("正著播順時鐘比例", cw, " 倒著播", 1 - cw)  # 1/(1+eps) vs eps/(1+eps)
# eps = 1 時兩者都是 1/2：倒帶後無法分辨

互動 demo · 規劃中拉環流、看倒帶能不能分辨；換起點、看 stationary 假設被違反

位置：本節之後。檔名：site/public/notes/research_areas/mathematical-foundations/m4-markov-chains/m4-3-1.html。
版面：上方兩條並排的天氣色帶（各 120 天，三色：晴／多雲／雨），左標「正著播」、右標「倒著播」，來自同一條模擬軌跡。中間是三角形的 rate 圖：正向 rate 標在順時鐘箭頭上、倒著播的 rate $\hat R(x,y)=R(y,x)\pi(y)/\pi(x)$ 即時算出標在另一組箭頭上。下方是統計：「S→C 的次數 vs C→S 的次數」在兩條色帶各數一次，並顯示一個分辨力指標 $|\log(\text{順}/\text{逆})|$ 。
控制項：滑桿 $\varepsilon\in[0,1]$ （逆時鐘 rate；預設 0.2）；按鈕「重抽一條軌跡」；按鈕「隨機隱藏方向」——把兩條色帶順序打亂、隱藏標籤，讓讀者猜哪條是正著播，再揭曉。下拉「起點分佈」：stationary（預設）／全晴／全雨。滑桿「影片長度」 $\in[30,2000]$ 天。
拖 $\varepsilon\to1$ ：三角形上正向與倒向 rate 逐漸相等，分辨力指標降到 0，「隨機隱藏方向」的猜對率掉到 50%——detailed balance。拖 $\varepsilon\to0$ ：色帶幾乎只剩固定順序的循環，一眼分得出。
切到「全晴」起點（保持 $\varepsilon=1$ ）：兩條色帶在 stationary 假設下本應無法分辨，但現在倒著播那條在結尾變成一段確定的晴天、且結尾前的雨天很快轉晴；畫面在三角形旁多顯示 $\hat R_t$ 隨 $t$ 變化的小折線（ $p_t(y)/p_t(x)$ ），起點附近數值很大。註記：「stationary 被違反時 $\hat R_t$ 依賴 $t$ ，即使 chain 本身 reversible 也看得出方向。」
拖影片長度： $\varepsilon$ 接近 1（例如 0.8）時短影片猜不準、長影片才猜得準——分辨需要足夠多的環路樣本。
底部觀察句：「觀察：倒著播的 rate 是 $R(y,x)\,p_t(y)/p_t(x)$ ——正向 rate 乘一個 Bayes 比值。比值在 stationary 且 detailed balance 時剛好把 rate 換回原樣，影片分不出方向；有淨環流、或起點不在 $\pi$ 時就分得出。」
匯出 PNG：色帶＋三角形＋統計併成 16:9，含當前 $\varepsilon$ 與起點選項。

先消化一下

想一想

一段排隊人數的縮時影片（每分鐘一格，人數 0 到 10）。已知這個排隊系統「每分鐘隨機來 0 或 1 人、隨機走 0 或 1 人，來與走的機率都不依賴人數」，而且已經運作很久、處於 stationary。你能分辨影片方向嗎？

想一想

倒著播的 rate $\hat R_t(x,y)=R(y,x)\,p_t(y)/p_t(x)$ 裡，比值 $p_t(y)/p_t(x)$ 為什麼會出現？

想一想

三種天的 chain 滿足 detailed balance（ $\varepsilon=1$ ），但影片是從「連續十天大雨之後」開始錄的、只錄了三十天。關於分辨方向：

參考文獻

Kelly, F. P. Reversibility and Stochastic Networks. Wiley, 1979（Cambridge University Press 重印 2011）.（第 1 章：reversed process、detailed balance、Kolmogorov 判準。）
Norris, J. R. Markov Chains. Cambridge University Press, 1997.（1.9 節與 3.7 節 time reversal。）
Levin, D. A., Peres, Y. Markov Chains and Mixing Times, 2nd ed. AMS, 2017.（1.6 節 reversibility 與 time reversal。）