M5.0 保險為什麼存在：Convex Function 與 Jensen 不等式

本篇重用2 篇

• M1.1從鞋子猜身高：Conditional Expectation
• M0.2導航的三十秒：Taylor 展開與「假設直線」

平均多付錢，為什麼還願意買？

先想一個簡化的保險模型，不是實際保單報價：一年有 2% 的機率損失 20 萬，其他時候沒有損失；付 6,000 元後，這筆損失會完全獲得補償。期望損失是 $0.02\times200{,}000=4{,}000$ 元，所以買保險平均多付了 2,000 元。

但「確定付 6,000」與「偶爾突然少掉 20 萬」，對生活的影響可能差很多。少掉一萬元還能應付，少掉二十萬元卻可能要借錢。我們在意的，究竟是損失的金額，還是這個金額造成的影響？ 要比較兩者，就得先把這個影響寫成函數。

課堂提問Q1

翻成數學。這裡的隨機變數是什麼？「你在意的東西」是它的哪個函數？「平均虧 2,000」比較的是哪兩個量——而它漏掉了哪個量？

先想一想，再展開看整理後的答案

隨機變數是你的年度損失 $X$：以 0.98 的機率是 0，以 0.02 的機率是 200,000。$\mathbb E[X]=4{,}000$。

「平均虧 2,000」比較的是保費 6,000 與 $\mathbb E[X]$。這個比較假設你在意的是金額本身。但你在意的其實是金額對你生活的影響——損失 20 萬對一個存款 30 萬的人，不是損失 2 萬的十倍那麼糟，而是糟得不成比例：要借錢、要賣東西、可能失去工作。把「有多糟」寫成一個函數 $\varphi(x)$：損失 $x$ 元帶來的痛苦。這個函數的特徵是越虧越痛、而且痛得越來越快——每多虧一萬元，增加的痛苦比前一萬元更多。

所以你真正比較的不是 $6{,}000$ 與 $\mathbb E[X]$，而是兩種痛苦：確定付 6,000 的痛苦 $\varphi(6{,}000)$，對上不買保險時的期望痛苦 $\mathbb E[\varphi(X)]=0.98\,\varphi(0)+0.02\,\varphi(200{,}000)$。

漏掉的量就是 $\mathbb E[\varphi(X)]$ 與 $\varphi(\mathbb E[X])$ 的差。「平均虧 2,000」只算了 $\varphi(\mathbb E[X])$ 附近的事——它把痛苦當成線性的。

弦在曲線上方

畫 $\varphi$ 的圖：橫軸是損失，縱軸是痛苦。「越虧越痛、痛得越來越快」讓這條曲線往上彎，像一個碗。

在曲線上取兩個點：$(0,\varphi(0))$ 與 $(200{,}000,\varphi(200{,}000))$，用一條直線（弦）連起來。弦上橫座標 $4{,}000$ 的那個點——也就是從左端點往右走 2% 的位置——高度正是 $0.98\,\varphi(0)+0.02\,\varphi(200{,}000)=\mathbb E[\varphi(X)]$。而曲線上橫座標 $4{,}000$ 的點是 $\varphi(4{,}000)=\varphi(\mathbb E[X])$。

碗往上彎，所以弦在曲線上方：$\mathbb E[\varphi(X)]\ge\varphi(\mathbb E[X])$。「不買保險的期望痛苦」比「確定損失 4,000 的痛苦」高。高出多少，就是弦與曲線在 $x=4{,}000$ 處的垂直距離——曲線彎得越厲害、兩個端點拉得越開，這段距離越長。

不過，Jensen 目前只比較了 $\varphi(4{,}000)$ 與 $\mathbb E[\varphi(X)]$，還沒有比較保費 6,000。只有再確認 $\varphi(6{,}000)\le\mathbb E[\varphi(X)]$，我們才能說這份保險在這個模型下比較合適。

若公司承保很多互相獨立的同類損失，每人的平均損失會比較穩定：$n$ 人的平均變異數是 $\mathrm{Var}(X)/n$。這是分散風險的效果，不是公司保證獲利；共同事故、營運成本與理賠條件仍會影響結果。

圖：凸曲線的弦在曲線上方；Jensen gap 同時由曲線彎度與隨機量散佈決定。

Convex 與 Jensen

定義。 函數 $\varphi$ 是 convex（往上彎）的，若對任意兩點 $a,b$ 與任意 $\lambda\in[0,1]$，

$$\varphi\big(\lambda a+(1-\lambda)b\big)\;\le\;\lambda\,\varphi(a)+(1-\lambda)\,\varphi(b).$$

左邊是曲線在 $a,b$ 之間某點的高度，右邊是弦在同一點的高度——「弦在曲線上方」的逐字翻譯。若 $\varphi$ 二次可微，等價的判準是 $\varphi''\ge0$（M0.2 的二階項永遠往上）。$x^2$、$e^x$、$-\log x$（$x>0$）都是 convex；$\log x$、$\sqrt x$ 是 concave（往下彎，$-\varphi$ 是 convex）。

Jensen 不等式。 若 $\varphi$ convex 且 $\mathbb E[X]$、$\mathbb E[\varphi(X)]$ 存在，則

$$\boxed{\;\varphi\big(\mathbb E[X]\big)\;\le\;\mathbb E\big[\varphi(X)\big].\;}$$

證明。 假設 $m=\mathbb E[X]$ 位於 convex 函數定義區間的內部。在這裡畫一條支撐線 $\ell(x)=\varphi(m)+c(x-m)$：整條曲線都在它上方，$\varphi(x)\ge\ell(x)$（可微時 $c=\varphi'(m)$，就是切線）。對兩邊取期望：

$$\mathbb E[\varphi(X)]\;\ge\;\mathbb E[\ell(X)]=\varphi(m)+c\,\big(\mathbb E[X]-m\big)=\varphi(m).\qquad\square$$

整個證明只用了兩件事：曲線在切線上方，以及期望是線性的（M1.1）。兩點的 convex 定義是 Jensen 的特例（$X$ 只取兩個值），Jensen 是它對任意分佈的推廣。

等號何時成立。 $\mathbb E[\varphi(X)]-\mathbb E[\ell(X)]=\mathbb E[\varphi(X)-\ell(X)]$，被積函數 $\ge0$，期望為零只能是它幾乎處處為零：$X$ 落在的每一個點上曲線都貼著切線。若 $\varphi$ strictly convex（弦嚴格在上方、沒有平的段），這只在 $X$ 是常數時發生。Jensen 的等號成立 ⟺ $X$ 不隨機（strictly convex 時）。這就是保險公司不怕的數學版本。

差距有多大。 把 $\varphi$ 在 $m$ 附近二階展開（M0.2）：$\varphi(X)\approx\varphi(m)+\varphi'(m)(X-m)+\tfrac12\varphi''(m)(X-m)^2$，取期望，一階項消失：

$$\mathbb E[\varphi(X)]-\varphi(\mathbb E[X])\;\approx\;\tfrac12\,\varphi''(m)\,\mathrm{Var}(X).$$

這個近似適合 $X$ 集中在 $m$ 附近、且高階餘項可忽略時；不能只因為變異數很大，就拿它當精確公式。若整個相關區間都滿足 $0\le m_2\le\varphi''\le M_2$，Taylor 餘項才給出明確的界：

$$\frac{m_2}{2}\mathrm{Var}(X)\le \mathbb E[\varphi(X)]-\varphi(\mathbb E[X])\le\frac{M_2}{2}\mathrm{Var}(X).$$

所以，曲線的彎度與輸入的散佈共同影響 gap，但一般情況下不能只看變異數，就比較兩個 gap 的大小。

展開細節把 Jensen 用在 concave 函數與 conditional expectation 上

concave 的 φ（例如 log、√）把不等式反過來：φ(E[X]) ≥ E[φ(X)]。最常見的例子是 E[log X] ≤ log E[X]——「先取 log 再平均」小於「先平均再取 log」；一筆投資如果每年 +50% 或 −50% 各半，算術平均報酬是 0，但 E[log(1+r)] = ½(log 1.5 + log 0.5) ≈ −0.144 < 0，長期複利下財富會趨近零。這是「分散投資降低波動本身就有價值」的來源，也是 Jensen gap 的另一個生活版本。

條件版本：用 $Y$ 表示已知資訊，在適當可積分條件下，$\varphi(\mathbb E[X\mid Y])\le\mathbb E[\varphi(X)\mid Y]$ 幾乎必然成立。固定已知資訊後，用同樣的支撐線證明即可；斜率可以依資訊而變。

直覺對了，數字現在有了

回到起點：要比較的是 $\varphi(6{,}000)$ 與 $0.98\varphi(0)+0.02\varphi(200{,}000)$，不是只比較金額。選好 $\varphi$ 後，這兩個量都能直接算；Jensen 解釋了為什麼「平均損失」不足以代表「平均影響」，但沒有替我們決定每個人的 $\varphi$。

這個判斷依賴的假設：

• $\varphi$ 真的 convex。 如果一個人的痛苦函數在某段是 concave 的——例如「反正欠債超過 50 萬就宣告破產，再多欠也一樣」——那在那一段 Jensen 反向，這個人對大額損失反而不在意，保險對他沒有吸引力。這不是理論錯，是假設不成立。
• 期望存在。 若損失分佈的尾巴太厚（例如 $\mathbb E[X]=\infty$ 的分佈），兩邊都沒有定義，「平均」這個詞本身失去意義。

跑一次，再把 φ 翻成 concave

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
loss = np.where(rng.random(200_000) < 0.02, 200_000.0, 0.0)      # 你的年度損失 X
phi  = lambda x: -np.log1p(-x / 250_000)                           # 一條 convex 的「痛苦」：損失越接近 25 萬的上限越痛
print(loss.mean())                                                 # ≈ 4000：E[X]
print(phi(np.array([6000.])).item(), phi(loss).mean())             # φ(6000) vs E[φ(X)]：後者更大 → 買保險划算
# 保險公司：十萬人的平均損失
pool = loss.reshape(2, 100_000).mean(1)                            # 兩個「公司年度」的平均損失，幾乎都 ≈ 4000
print(pool, phi(pool).mean() - phi(np.array([pool.mean()])).item())  # Jensen gap ≈ 0
# 破壞假設：把 φ 換成 concave（破產後不在意）
phi_c = lambda x: np.sqrt(x)
print(phi_c(np.array([4000.])).item(), phi_c(loss).mean())         # φ(E[X]) > E[φ(X)]：不等式反向，保險不吸引人

前三行：$\mathbb E[X]\approx4{,}000$；$\varphi(6{,}000)$ 小於 $\mathbb E[\varphi(X)]$，確定付 6,000 比冒險舒服。保險公司那兩個「年度」的平均損失都在 4,000 附近，Jensen gap 幾乎是零。最後把 $\varphi$ 換成 concave 的 $\sqrt x$：$\varphi(\mathbb E[X])=63.2$，$\mathbb E[\varphi(X)]=0.02\times447=8.9$——不等式整個反過來，這樣的人寧願賭。理論預告了方向，數字確認了大小。

互動 demo：拖動彎度、散佈與保單池大小，直接比較 E[φ(X)] 與 φ(E[X])。

檢查理解

想一想

考慮一個數學模型：100 萬全部放在一項隨機收益，或平均分成 100 份放在互相獨立的同類收益。每項一年後變成原金額的 1.5 倍或 0.5 倍，各半。兩者的期望財富都是 100 萬。若滿足感是財富的 $\log$，哪個期望滿足感較高？ 一樣高，因為期望財富相同。 分散的那個；對每組收益用 concavity 比較，再取期望即可證明。 全押的那個，因為有機會增加 50%。

看解答

想一想

Jensen 的等號 $\varphi(\mathbb E[X])=\mathbb E[\varphi(X)]$，在 $\varphi$ strictly convex 時成立的條件是： $X$ 是對稱分佈。 $\mathbb E[X]=0$。 $X$ 幾乎必然是一個常數——沒有散佈就沒有 gap。

看解答

想一想

一家餐廳每天的客人數 $N$ 隨機，當天平均等待時間是 $T(N)$，且 $T$ convex。隨機選一天來記錄等待時間，所得平均 $\mathbb E[T(N)]$，與老闆用平均客人數算出的 $T(\mathbb E[N])$ 比： 低估了——$T$ convex 時 $\mathbb E[T(N)]\ge T(\mathbb E[N])$，尖峰日的等待被凸性放大，平均客人數算出來的數字永遠偏樂觀。 剛好相等，因為長期來看會平均掉。 高估了，因為離峰日很快。

看解答

參考文獻

1. Boyd, S., Vandenberghe, L. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.（第 3.1 節 convex function 的定義與二階判準；第 3.1.8 節 Jensen 不等式與其推廣。）
2. Jensen, J. L. W. V. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica 30, 1906.（不等式的原始出處。）
3. Cover, T. M., Thomas, J. A. Elements of Information Theory. Wiley, 2nd ed., 2006.（第 2.6 節：Jensen 不等式與等號條件，作為資訊量非負性的工具。）
4. Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes. Oxford University Press, 3rd ed., 2001.（第 3.6 與 7.9 節：期望的不等式、conditional Jensen。）