作業候選 B：幫生成模型鋪路

本篇重用3 篇

• U1.5實作：建立這個單元的 Toy
• U2.5實作：從 reference path 到 Flow ODE
• L5.3一個生成模型好不好，該用哪一個數字回答？

評分原則：未達數字門檻、但診斷與失敗分析完整的作業，分數高於達標卻無法說明原因的作業。 數字達標只占總分 5%。

任務

這次不准換車：網路、training budget 與 8-step Euler 全部固定。你要替自己的 source-to-target 病例設計一條比較好走的路。

你可以改 path 或 pairing，只能二選一。兩端分布不變；你要用程式與圖說明，中間的選擇如何改變有限步取樣，以及代價落在哪裡。

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硬限制

• 個人作業；source 與 target 由 make_case(student_id) 決定。
• 正式 sampler 固定一階 Euler；主要結果固定 8 NFE。
• 網路、batch size、seed 與最多 6,000 optimizer steps 固定。
• 只能選 path design 或 pairing design，不能兩個一起改。
• 不得使用 OT solver、reflow、learned mapper、distillation、consistency、高階 solver、額外資料或更大的網路。
• limitation micro-toy 固定 width 32、最多 1,000 steps。

兩條合法路線

路線一：Path design

使用固定端點的形式，例如

$$x_t=(1-t)x_0+t x_1+t(1-t)g_\phi(x_0,x_1),$$

其中 $g_\phi$ 必須是你明寫的低成本函數，不可以是另一個需要訓練的大網路。你必須自己推出 $\dot x_t$，並用 conditional regression 訓練速度場。端點必須精確滿足 $x_{t=0}=x_0$、$x_{t=1}=x_1$。

路線二：Pairing design

保持

$$x_t=(1-t)x_0+t x_1,$$

只修改 $(x_0,x_1)\sim\pi$。可以使用排序、角度、半徑、投影或你自己寫的簡單幾何規則。禁止呼叫 assignment／OT library，也禁止讓另一個模型替你產生配對。

W4.5 前：押注單

用 200–300 字回答：baseline 的條件路線在哪裡交叉或繞路？你要改哪個設定？你預測 8-step precision、coverage 與 transport/path-length cost 各怎麼變？

必做實驗

1. 畫條件路線。 至少 16 組相同端點，並排 baseline 與你的設計。
2. 畫邊際軌跡。 固定 32 個 source samples，畫 8-step Euler 的完整軌跡。條件路徑直，不代表邊際軌跡直；兩張圖都要有。
3. 畫 NFE 曲線。 對 $\{2,4,8,16,32\}$ 報 precision 與 coverage，並標出 real-vs-real reference。
4. 量代價。 至少報一項 transport cost、平均 path length 或最大偏航距離。不能只說品質改善，卻不說改路付了什麼錢。
5. Training-length sweep。 同一次訓練保存 1,500／3,000／6,000 steps，確認結果不是單純比較誰訓得久。
6. 最小反例。 把問題縮成 2–4 組端點，讓你的 pairing/path 產生交叉、塌縮或不必要繞路。

數學與直覺

你的方法格必須同時有：

• 一個生活比喻，說明為什麼 baseline 的路難走；
• 自訂符號與完整 $x_t,\dot x_t$；
• conditional target 為什麼仍可計算；
• 為什麼 $L_2$ 回歸得到的 marginal field 應打中你診斷的問題。

交件與 U3 接口

固定六格：押注、驗屍、方法、結果、limitation、U3 接口列。

source $p_0$	target $p_1$	$\alpha_t,\beta_t$	coupling $\pi$	target	sampler	代價
					Euler, 8 NFE

第五週課堂會把全班的列排在一起，再加入 $\gamma_tz$：

$$x_t=\alpha_t x_0+\beta_t x_1+\gamma_t z,\qquad (x_0,x_1)\sim\pi.$$

評分：問題診斷 25%、方法與理由 25%、實驗證據 30%（數字達標 5%）、limitation 與反例 20%。課堂上另有兩分鐘圖表口頭檢核。