G6.2 能量不變，為什麼它的 gradient 會跟著轉？

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G6.1用距離決定大小，用相對位置決定方向：EGNN

只要力的方向一起轉，就已經像物理了嗎？

EGNN 可以直接給出 equivariant vectors，但不一定保證力來自某個 energy。若我們要模擬分子，通常還希望能量變化與做功有一致關係。

一個自然做法是先學總能量 $E(X)$ ，再把每個原子的力定義為

F_i(X)=-\nabla_{x_i}E(X).

這裡先固定原子型別與 graph，式子中只寫出會變換的座標。Chmiela 等人 [1] 的 GDML 從 force 資料學習保守場，同樣利用 scalar potential 與力的關係；我們這裡採取先學 energy、再求 gradient 的構造，看看不變性還能帶來哪些幾何限制。

Invariant scalar 的 gradient 為什麼會轉？

把所有座標堆成一個向量 $q\in\mathbb R^{nd}$ ，讓 $\mathcal Q=I_n\otimes Q$ 在每個原子的空間分量上作用。共同 translation 堆成 $\beta$ 。

假設 energy 滿足

E(\mathcal Qq+\beta)=E(q).

令 $q'=\mathcal Qq+\beta$ 。對 $q$ 做 chain rule，左邊先經過 $\mathcal Q$ ，因此

\mathcal Q^\top\nabla E(q')=\nabla E(q).

再左乘 $\mathcal Q$ ，用 $\mathcal Q\mathcal Q^\top=I$ ：

\nabla E(q')=\mathcal Q\nabla E(q).

兩邊加負號，得到 $F(q')=\mathcal QF(q)$ 。Energy 的值不變，不表示 gradient 的座標分量不變；gradient 必須用新的方向表示同一個變化。

Permutation 同理也是 orthogonal 重排：若 energy 不依原子順序，force 就隨原子重排。合起來得到 G6.0 的 force action。

共同平移，還給出什麼？

讓所有原子沿同一個向量 $b$ 平移 $\tau b$ 。Energy 不變，對 $\tau$ 微分：

0=\left.\frac{d}{d\tau}E(x_1+\tau b,\ldots,x_n+\tau b)\right|_{\tau=0} =\sum_i\nabla_{x_i}E(X)\cdot b.

因為任意 $b$ 都成立， $\sum_i\nabla_{x_i}E=0$ ，因此

\sum_iF_i=0.

這不是額外設一個「總力懲罰」才得到，而是可微 invariant energy 的結果。若外場選定固定位置，energy 本來就不 translation-invariant，不能仍套這個結論。

旋轉又給出什麼？

在三維，沿小旋轉的軸向量 $\omega$ ，原子的一階位移是 $\delta x_i=\omega\times x_i$ 。Energy 的方向導數為零：

0=\sum_i\nabla_{x_i}E\cdot(\omega\times x_i) =\omega\cdot\sum_i(x_i\times\nabla_{x_i}E).

第二步用 scalar triple product 的迴圈關係。任意 $\omega$ 都成立，得到

\sum_i x_i\times F_i=0.

這是總 torque（力矩） 為零的條件： $x_i\times F_i$ 描述這個力對原點造成的轉動效果。它不要求每一對原子都有顯式的成對反向力；一般 many-body energy 可以有更複雜的互動，仍符合總量約束。

Energy conservation 還要說清楚範圍

若 $E$ 光滑， $F=-\nabla E$ 是 conservative force（保守力）：沿路徑積分的做功由端點 potential difference 決定。在適當的連續動力學中，這能與 kinetic energy 一起構成能量守恆。

但數值積分軌跡仍可能有 discretization error。從 energy 求 force，不代表任意 solver 的有限步計算都會精確守恆。 同樣，直接預測一個 equivariant force，不保證它是某個 scalar energy 的 gradient。

補充訓練 force 時，autograd graph 不能提早切斷

為了讓 force loss 更新 energy network 參數，計算 $\nabla_X E_\theta$ 時需保留可微 graph，例如 PyTorch 的 create_graph=True。只想評估 force 時不必保留高階 parameter graph，但仍需要對 coordinates 開啟 gradient。

先學 invariant energy，再用 chain rule 得到 equivariant force；平移與旋轉 invariance 還約束總力與總 torque。

課堂提問

一個直接預測 force 的模型測得 rotation defect 為零，能否據此證明沿任意閉合路徑的做功也為零？

先想一想，再展開看整理後的答案

不能。Rotation equivariance 只約束座標變換；閉合路徑做功為零是 conservative force 的性質，需要 scalar potential 或相應 integrability 條件。

動手看一次

改變旋轉與平移，觀察 energy 不變、force 一起旋轉與 total force 為零。數值來自解析 pair energy，不是預設的訓練成績。