G6.3 鏡子裡的分子，也一定要得到相同答案嗎？

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左右手看起來很像，為什麼不能只靠轉動重合？

把左手與右手放在桌上，形狀互為鏡像，但無論怎麼在三維空間轉動，也不能讓每個對應部位重合。這個熟悉的經驗，就是 chirality（手性） 的直覺。

前面 distance-based layers 對所有 orthogonal transformations 都有一致性，包括 reflection。如果任務只關心鍵長與普通距離，這很合理；但若想辨認左右手構型，把 mirror 當成同一份答案，會不會先排除了正確模型？

我們先算一個只需要四個點的例子，再決定該用哪個 group。

取四個不同型別的點 $a,b,c,d$ ，型別讓每個點的身份明確。鏡射矩陣 $Q$ 滿足 $Q^\top Q=I$ 、 $\det Q=-1$ 。

鏡像後的任意距離是

\|Qa-Qb\|=\|Q(a-b)\|=\|a-b\|.

其他所有 pairs 也相同。因此任意只讀這些型別與 pairwise distances 的 invariant scalar model，都會給鏡像相同答案。

這不是距離取樣太少：即使全部距離都知道，orientation 的符號仍被消除。 若 target 區分手性，distance-only E(d)-invariant scalar 就不適合。

以 $a$ 為共同起點，取三支向量：

u=b-a,\qquad v=c-a,\qquad w=d-a.

用它們作為矩陣的三個 columns，定義 signed volume：

V=\det[u,v,w].

它的絕對值是平行六面體體積，符號則記下三個方向的 orientation。共同 translation 在相減後消失；orthogonal transformation 後，

V'=\det[Qu,Qv,Qw] =\det(Q)\det[u,v,w] =\det(Q)V.

Proper rotation 的 determinant 是 $1$ ，所以 $V'=V$ ；reflection 是 $-1$ ，所以 $V'=-V$ 。這讓鏡像產生不同的數值。

取 $a=(0,0,0)$ 、 $b=(1,0,0)$ 、 $c=(0,1,0)$ 、 $d=(0,0,1)$ ，得到 $V=1$ ；將第一個座標鏡射，得到 $V=-1$ ，距離卻完全相同。

它是一個數，但不是 reflection-invariant scalar。對 proper rotations 不變、對 reflection 改符號的量叫 pseudoscalar（偽純量）。

這再次說明「輸出是一個數字」不夠決定 output action。普通 energy 可以要求 E(d)-invariant；signed orientation 則應使用不同的 action，或把 group 限定為 SE(d)。

同樣，cross product 是 axial vector，reflection 下與普通 polar vector 的 action 不同。我們在擴充單元再處理 tensor 的型別；這裡先把 scalar 與 pseudoscalar 的差別說清楚。

會，若任意交換 $b,c$ ，determinant 也變號。所以用 signed volume 辨認手性時，需要明確的 chemical identities 或一致的 ordering rule，不能依資料的 row 順序臨時決定 $a,b,c,d$ 。

本例用四種不同型別固定角色，shuffle 時點的型別跟著搬動，再按型別取出四個點，才不會把 permutation 和 reflection 混為一談。若點沒有可區分身份，要設計更完整的 permutation-consistent construction。

補充E(d) 與 SE(d) 哪個正確，要由任務決定

在沒有手性外部條件的經典系統中，鏡像構型的某些 energy 可以相同；識別手性類別或與手性環境的互作用時，target 可以不同。不能因為分子可能有手性，就斷言所有 energy 都必須在 reflection 下改變。

我們沒有找到一種所有任務都該使用的最大 symmetry。相反地，每次都先問：哪些輸入變化保留任務意義？答案是什麼型態？哪些資訊不能被提前平均或消除？

G1 的地標座標、G3 的元素順序、G5 的道路關係、G6 的 force 與鏡像，都在使用同一條檢查方法。接下來把這些要求寫成真正的測試，就能把「模型看起來合理」變成可計算的證據。

課堂提問

如果用資料表最前面四個 rows 算 signed volume，再宣稱模型 permutation-invariant，問題在哪裡？

先想一想，再展開看整理後的答案

重排會改變四個點的選擇與順序，determinant 可能改值或改符號。本例靠不同點型別固定角色，型別隨點重排；不能把 row index 當作幾何身份。

勾選鏡射，再比較 pairwise distance、energy 與 signed volume。前兩者不變，後者變號；A–D 是固定角色，不是任意 row 順序。