G3.0 地標換個排列，為什麼答案不該變？

本篇重用1 篇

地標名單換順序，城市沒有換

前兩個單元一直在移動或旋轉影像。現在我們不給整張地圖，只給幾個地標：台大正門、總圖、公館站，各有自己的位置與屬性。

朋友把同一份名單重新排序，總圖從第二列移到第一列，它真的在城市裡移動了嗎？ 沒有。改變的只是存資料的方法，不是地理事實。

這種輸入叫 set（集合）：元素本身有意義，排列順序沒有。若同一元素能重複出現，我們更精確地稱為 multiset；本單元會讓重複與點數也有機會影響答案，不默默把它們刪掉。

有 $n$ 個點，每個點有 $d$ 個特徵，把它們寫成矩陣

X=\begin{bmatrix}x_1^\top\\ \vdots\\x_n^\top\end{bmatrix}\in\mathbb R^{n\times d}.

$x_i$ 可以含座標與地標型別。令 $P$ 是 $n\times n$ 的 permutation matrix（置換矩陣）：每列與每欄恰好有一個 $1$ ，其餘為零。左乘 $P$ 就選出新的 row 順序。

例如

P=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad PX=\begin{bmatrix}x_2^\top\\x_3^\top\\x_1^\top\end{bmatrix}.

注意， $P$ 沒有旋轉 $x_i$ 的座標。它只是把整列連同所有屬性一起搬動。若 label、mask 或邊的索引也依賴這些點，就要一起更新，不能只改一半。

若問「這群地標是不是台大附近」，模型輸出一個全局類別：

f(PX)=f(X).

這是 permutation invariance。全局答案沒有 row index，所以不應因名單排列改變。

若問「每個點是道路、建築，還是捷運站」，輸出 $Y=F(X)$ 的第 $i$ 列對應第 $i$ 個點。重排輸入後，答案也必須重排：

F(PX)=PF(X).

這是 permutation equivariance。答案不是整份保持原排列，而是繼續跟著自己的點。和 G1 的座標、箭頭一樣，要先看輸出型態，再決定合理 action。

先只讓每個點有一個 scalar 值。一般線性 readout 可以是

f(X)=w_1x_1+\cdots+w_nx_n.

交換前兩列後，差值為

f(PX)-f(X)=(w_1-w_2)(x_2-x_1).

除非 $w_1=w_2$ ，或這一次資料剛好相同，答案就會變。對所有交換都 invariant，要求每個 row 使用相同權重。

這是另一種共享：CNN 沿著位置共享，集合模型沿著元素共享。兩者對應不同 action，但「不要因為表示方式改了，就換一套規則」的主線相同。

Zaheer 等人 [1] 的 Deep Sets 與 Qi 等人 [2] 的 PointNet 會給出兩種常用做法。下一篇先問：每個點使用同一個函數，再把結果加起來，是否就能處理集合？

補充Permutation invariance 不代表 rotation invariance

一群點可以被重新排序而不影響答案，但把所有座標旋轉後，MLP 仍可能給出不同特徵。忽略排列只解決存資料的順序；座標的幾何 action 留到 G6 處理。

課堂提問

逐點分類時，重新排列輸入卻要求輸出的 row 完全不動，會出什麼問題？

先想一想，再展開看整理後的答案

同一列已經換成另一個點，原答案會對到錯誤的地標。正確要求是輸出跟著同一個 permutation 重排，而不是整份輸出保持原排列。

按下 shuffle，只重排資料列。比較全局 sum 與使用 row index 的加權和；開啟逐點 label，確認標籤始終跟著同一個地標。