G1.1 先轉再移，和先移再轉一樣嗎？

本篇重用1 篇

• G1.0同一張地圖換個方向，答案應該怎麼變？

我們能不能把兩次操作當成一次？

上一篇要求模型跟著地圖的變換。現在想像你先向右拖地圖，再把它轉九十度；朋友卻先轉，再往螢幕右邊拖。最後總圖的位置通常不一樣。

這件事提醒我們：變換不只是一張新圖片，它還有操作順序。 如果想把模型的要求寫進每一層，就要先建立一套能記錄順序的語言。

先用座標 $p$ 看。旋轉是 $R$，平移是 $b$，一個完整動作可以記成 $g=(R,b)$，作用結果是 $Rp+b$。若先做 $h=(S,c)$，再做 $g$，

$$R(Sp+c)+b=(RS)p+(Rc+b).$$

因此兩次操作合成

$$gh=(RS,Rc+b).$$

平移 $c$ 也會被後面的旋轉轉過去。這就是先移再轉不等於先轉再移的原因，而不是符號故意變複雜。

什麼樣的一群操作可以一起討論？

我們希望這組操作能包含「什麼都不做」，能撤銷每一次操作，也能把連續操作合成仍在同一組裡的操作。

對旋轉和平移，什麼都不做是 $e=(I,0)$；把 $g$ 撤銷的方法是

$$g^{-1}=(R^{-1},-R^{-1}b).$$

把它代入就會回到 $p$。而三次操作不論先合併前兩次還是後兩次，都得到相同結果，因為實際作用的函數組合具有 associativity（結合律）。

具有 closure、identity、inverse 與 associativity 的操作集合，叫 group（群）。這裡的乘法 $gh$ 是「先 $h$ 再 $g$」，不一定是普通數字相乘，也不要求 $gh=hg$。

補充Group 是可以組合、撤銷，且組合規則一致的一組變換

旋轉九十度的整數次操作形成 $C_4=\{e,r,r^2,r^3\}$，其中 $r^4=e$。但只收集「轉九十度」和「不轉」不會形成 group：連續轉兩次需要的一百八十度不在集合裡。

裁切一般沒有 inverse：被裁掉的像素不能由剩下的像素唯一恢復，所以不能直接當成這種 group action。

同一個操作，怎麼作用在不同資料上？

在座標上，$g$ 作用為 $Rp+b$；在影像上，它要把每個像素的內容搬到新位置；在 label 上，可能根本不做事。

我們把某個資料空間上的作用寫成 $T(g)$。它應滿足

$$T(e)x=x,\qquad T(gh)x=T(g)\bigl(T(h)x\bigr).$$

這叫 group action。第二條要求操作表與實際資料的變化一致：不能把合成動作 $gh$ 指定成第三種不相干的效果。

對影像函數 $x(u)$，$u$ 是像素位置。平移 $a$ 後，新位置 $u$ 的內容來自舊位置 $u-a$，因此

$$[T(a)x](u)=x(u-a).$$

為什麼是減號？想像原本在 $u=0$ 的標記往右移到 $a$，那麼新影像在 $a$ 讀到的，正是舊影像在 $a-a=0$ 的值。

什麼時候可以用矩陣表示？

如果 feature 本身是一個向量，且變換對它是線性的，我們可以用矩陣 $\rho(g)$ 記錄作用：

$$\rho(gh)=\rho(g)\rho(h),\qquad \rho(e)=I.$$

這叫 linear representation（線性表示）。旋轉方向向量的 $\rho(g)=R$、重排四個方向 channel 的 permutation matrix，都是例子。

但座標 $p\mapsto Rp+b$ 有額外的 $b$，一般不是對 $p$ 的線性作用，不能不加說明就叫它 $\rho(g)p$。我們因此沿用 $T_{\mathrm{in}}$、$T_{\mathrm{out}}$ 表示一般 action，只有真的談線性 feature 變換時才用 $\rho$。

到這裡，我們還沒有設計神經網路。只是把上一篇的要求補完整：先選一組變換，再指定它在輸入與輸出上的一致作用。 下一步才有辦法問，哪些參數配置可以保證模型遵守它。

課堂提問

只把 0° 與 90° 兩種旋轉收在一起，為什麼不能直接稱為一個旋轉 group？

先想一想，再展開看整理後的答案

它對組合不封閉。90° 接著 90° 是 180°，卻不在這個集合中；補進 180°、270° 後，才得到四個元素的 C4。

動手看一次

保持 circular boundary 與 stride=1，拖動整數格的平移。這裡的每次移動都是可撤銷、可組合的 action；下方兩條線檢查同一個共享運算是否與它交換。

快速回顧一下

想一想gh 的作用順序是什麼？

• 先做 h，再做 g。
• 不論先做誰都相同。

想一想平移後的影像在 u 讀到什麼？

• 原影像 u+a 的內容。
• 原影像 u−a 的內容。

想一想一般座標平移是線性 representation 嗎？

• 不是；對原座標來說包含額外常數。
• 是；任何幾何操作都是線性矩陣。

參考文獻

1. Bronstein、Bruna、Cohen 與 Veličković（2021），Geometric Deep Learning