Probability Path：分布之間可以有一條路

把鏡頭從個別粒子拉高到整條分布的演化。

第一次讀 diffusion 或 flow matching 的公式時，常會在某一行卡住：式子裡突然冒出一個帶下標的 $p_t$，而且 $t$ 還是連續的——也就是說，這不是一個分布，而是一整族分布。你可能會想：這些中間的分布是哪來的？是真有一批「半噪聲半資料」的樣本嗎？

公式裡突然多出一整族分布

$p_t$ 不是憑空出現的記號。它是一條機率路徑（probability path）——把 noise 分布平滑連到 data 分布的「分布之路」。看懂它，後面很多公式就不再像魔術。

最重要的圖像

起點和終點像兩張照片；probability path 關心的是中間那段影片怎麼拍。

$p_0$（noise）和 $p_1$（data）是頭尾兩幀；$p_t$ 就是影片中間的每一幀。生成模型在乎的，不只是頭尾長怎樣，而是這支影片的每一格怎麼從圓形點雲漸變成資料的形狀。

先在 2D 裡看看

把一團圓形高斯點雲變成月牙形，中間可以有無數種拍法：可以平滑均勻地推過去，可以先擠成一條線再展開，也可以繞遠路。每一種拍法，對應一串不同的中間幀 $p_t$。

下面的 demo 讓你看見這支影片：拖 $t$，看密度形狀如何從高斯漸變到目標；切換不同插值方式，看同樣的頭尾可以拍出不同的中間。

如果你已經注意到「兩端不變、中間會變」，那你已經摸到 Diffusion & Flow Models 課程 裡 path design 和 rectified flow 的門把了——它們做的，正是挑一條更好拍的影片。

把圖像翻成數學

一條 probability path 是一族以 $t$ 參數化的機率分布

$$\{ p_t \}_{t \in [0,1]}, \qquad p_0 = p_{\text{noise}}, \quad p_1 = p_{\text{data}},$$

要求它對 $t$ 夠平滑地變化。它和上一篇的向量場是配對的：若粒子照 $\frac{dx}{dt}=v_t(x)$ 移動、起點分布是 $p_0$，那粒子在時刻 $t$ 的分布就是某個確定的 $p_t$。「向量場 $v_t$」生成「機率路徑 $p_t$」——這個對應的嚴格寫法（continuity equation）收在 Diffusion & Flow Models 課程。

flow matching 常見的設計，是先指定一條「條件路徑」再混合。例如給定一筆資料 $x_1$，把它和噪聲 $x_0$ 用直線相連：

$$x_t = (1-t)\, x_0 + t\, x_1, \qquad x_0 \sim \mathcal{N}(0,I),$$

對所有 $(x_0, x_1)$ 取平均，就得到一條邊際的 probability path $p_t$。diffusion 則用加噪定義路徑：$x_t = \alpha_t x_0 + \sigma_t \epsilon$ 給出的 $p_t$，是資料分布被逐漸抹平、最後趨近高斯的那條路。兩者是不同的 $p_t$ 設計，但都是同一個概念。

讀到這裡，先別急著這樣想

最容易誤會的一點是：把 $p_t$ 當成資料集裡真的存在的「中間資料」。先用一題確認：

想一想中間那些分布 p_t，對應到資料集裡真實存在的「半噪聲半資料」樣本嗎？

• 是。訓練時會另外收集一批中間狀態的真實資料。
• 看情況，有些資料集會附中間狀態。
• 不是。p_t 是我們為了讓生成變得可學，刻意設計出來的一段過渡過程。

想一想固定了起點 p₀ 和終點 p₁ 之後，中間的 probability path 是唯一被決定的嗎？

• 是，兩端定了，中間那段影片就只有一種拍法。
• 不是。連接同樣兩端的路徑有無限多條，每條對應不同的速度場——這正是 path design 與 rectified flow 的空間。
• 只有當 p₁ 是高斯時才唯一。

換句話說：$p_t$ 不是自然界裡本來就有的一批中間資料，而是我們為了讓生成變得可學，刻意設計出來的一段過渡過程。它也不必是確定性流動——diffusion 的前向過程是隨機的（SDE），但它在每個 $t$ 仍定義了一個邊際 $p_t$；同一條 $p_t$，可由隨機 SDE 或確定 ODE 實現（這是 probability flow ODE 的核心，收在 Diffusion & Flow Models 課程）。

為什麼研究者在乎？

probability path 是 diffusion 與 flow matching 的共同骨架。diffusion 用「加噪 schedule」隱含地定義一條路；flow matching 則常先明確指定一條路（直線、optimal-transport 路徑……），再去學讓樣本沿這條路移動的速度場。noise schedule、rectified flow、Schrödinger bridge 等研究，本質上都在問同一個問題：哪一條分布路徑，最好學、又最好取樣？ 把這條路選得好，後面的訓練與取樣都會跟著變簡單；選得差，則處處卡關。

下一步

有了「分布之間可以有一條路」這個畫面，下一個問題是：模型在這條路上的每一步，到底要學什麼、又怎麼學？下一篇 Denoising：生成可以被看成局部修復 給出第一種具體的局部訊號——去噪。

參考文獻

1. Lipman, Y., et al. Flow Matching for Generative Modeling. ICLR 2023.
2. Albergo, M. S., Vanden-Eijnden, E. Building Normalizing Flows with Stochastic Interpolants. ICLR 2023.
3. Ho, J., Jain, A., Abbeel, P. Denoising Diffusion Probabilistic Models. NeurIPS 2020.