G1.0 同一張地圖換個方向，答案應該怎麼變？

手機轉過去，哪一個答案要跟著轉？

想像你在台大附近找總圖。手機地圖本來朝北，現在你把畫面轉了九十度。總圖還是總圖，但它在螢幕上的座標變了；「往右走」這支導航箭頭也不能留在原來的方向。

所以，在問模型能不能認出同一個地方之前，我們應該先問：這個任務到底要輸出什麼？ 如果答案只是「這是台大」，轉動地圖不該改變它；如果答案是總圖的座標，答案就必須一起轉。

這是 Geometric Deep Learning 的起點：利用資料的幾何結構，要求模型用正確的方式回應變換。Bronstein、Bruna、Cohen 與 Veličković [1] 用這個觀點連起格點、集合、graph 與幾何資料；我們先從可以親手轉動的地圖開始。

用 $x$ 表示整張地圖，用 $f(x)$ 表示模型的答案。 $g$ 是一次指定的變換，例如旋轉九十度； $T_{\mathrm{in}}(g)x$ 表示變換後的輸入。這裡的 $x$ 是模型輸入，不一定是某個地點的二維座標。

對地點分類，我們想要求

f(T_{\mathrm{in}}(g)x)=f(x).

這叫 invariance（不變性）：輸入改了，任務要求的答案沒有改。它不是說影像相同，而是說模型應忽略這個任務不需要的變化。

但定位總圖時，右邊不能仍是原來的座標。我們需要另一個動作 $T_{\mathrm{out}}(g)$ ，說明答案如何變換：

f(T_{\mathrm{in}}(g)x)=T_{\mathrm{out}}(g)f(x).

這叫 equivariance（等變性）。左邊先改輸入，再請模型回答；右邊先讓模型回答，再用正確規則改答案。兩條做法應該得到同一個結果。

接下來，我們不先給出架構，再問它有沒有這個性質，而是從這條要求出發：它會限制哪些運算？還需要加入哪些設計假設，才能建立一個可用的模型？ 例如先選線性層或局部處理，再看同一個規則該如何共享。

這是我們構造 CNN、集合模型、Transformer 與 GNN 的共同方法。Symmetry 限制答案如何回應變換，不會單獨指定整個架構；invariance 則是其中「答案不用變」的情況。

假設地圖上的座標 $p\in\mathbb R^2$ 經過旋轉矩陣 $R$ 與平移 $b$ ，變成

p'=Rp+b.

如果模型輸出的是總圖座標，就要遵守這個規則。但箭頭 $v$ 描述的是兩個位置的差，不是某個位置本身。把箭頭的頭尾都變換後，

(Rp_2+b)-(Rp_1+b)=R(p_2-p_1)=Rv.

平移被減掉了，所以向量只需要旋轉，不需要再加上 $b$ 。把位置與向量用同一條 affine transformation 處理，導航就會出錯。

Mask 的每個值可以是 scalar，但它們所在的位置仍要一起變。Scalar 不等於所有情況都 invariant；先看它是一個全局答案，還是附在每個位置上的答案。

補充Invariance 是輸出 action 為 identity 的特例

若 $T_{\mathrm{out}}(g)y=y$ 對所有答案都成立，equivariance 的式子就退回 invariance。兩者不是誰比較高階，而是同一種一致性要求對應不同輸出。

把同一塊城市完整轉過去，和把總圖裁出畫面，是兩件事。後者真的移除了資訊；看不到總圖時，模型不一定還能回答它在哪裡。

因此，我們先把對稱的討論限制在：變換保留任務需要的資訊，且輸出的變換規則可以說清楚。 有限螢幕、裁切與缺失資料會在後面另外處理，不能直接用理想等式略過。

也不能只靠 equivariance 就保證答案正確。一個永遠輸出零向量的模型可以 rotation-equivariant，卻完全不會導航。架構的一致性要求與 task error，從一開始就要分開。

課堂提問

如果導航箭頭做得 rotation-invariant，每次轉動地圖後都輸出同一支螢幕方向的箭頭，這是我們想要的嗎？

先想一想，再展開看整理後的答案

不是。目的地沒變，但座標系改了。箭頭是向量，必須乘上同一個旋轉矩陣；保持原方向反而破壞輸入與答案的關係。

轉動地圖後，切換 label、座標與方向。這個 demo 是輸出變換規則的示意，不是神經網路的預測。注意箭頭跟著轉，但不把平移量當成箭頭的一部分。