學習目標：universal approximation 保證的是存在，不是學得到。同一個網路、同一組超參數與同樣的步數，目標從 1 個週期換到 32 個週期，訓練誤差差好幾個數量級——網路對低頻有一個很強的偏好。而它對「哪些輸入座標相鄰」一無所知，那就是後面每一個架構存在的理由。

灰虛線＝目標 sin(2πkx)；散點＝訓練資料；實線＝目前的網路（訓練中會即時更新）

縱軸 log：訓練 MSE 對步數，四條線對應 k = 1 / 4 / 16 / 32；水平線＝0.5（完全沒學到的水準）

觀察：四條曲線同時開始，k=1 很快掉到 10⁻³ 以下，k=32 那條幾乎貼在 0.5 上不動——同一個網路、同樣的步數，差別只在目標的頻率。把寬度從 32 加到 128 會讓高頻那條掉一些，但差距不會消失：這不是容量不夠，是梯度下降在這個參數化下先學低頻。定理說得出「存在一組權重」，它沒說你找得到。