學習目標：在細長的碗上，動量的旋鈕是 β，而且要跟著條件數 κ 調（最佳值 β* = ((√κ−1)/(√κ+1))²）。而 Adam 免疫的是梯度的整體尺度——把損失乘上 10³，GD 與動量用同一個 η 立刻爆掉，Adam 的軌跡一模一樣；但把特徵換成「民國年」（x 加上 1911）時，Adam 也救不了。

等高線＝損失；三條軌跡＝GD／動量／Adam（各 300 步）；✕＝最小點

縱軸 log：損失減最小值對步數（一律換算回未縮放的尺度，所以三種情境可以直接比）

κ = — β* = — 1/(1−β) = — GD = — 動量 = — Adam = —

觀察：把 β 推到 β*（按鈕），動量那條明顯下沉；再往上推就開始過衝。切到「損失 ×10³」：GD 與動量用同一個 η 立刻爆掉，而 Adam 從 1.78e-15 只變成 1.72e-15——它的更新是 m/√v，整體尺度被約掉了。切到「民國年」特徵（把 x 換成 x+1911，資訊完全一樣）：κ 跳到 1.9e+14，三個方法一起壞掉，Adam 也只剩 1.73e-1。打開標準化，同一個 Adam 立刻收到 1.00e-16。最佳化器改的是走路的方式，標準化改的是碗的形狀。